Dichtematrix, Kohärenzen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 29.11.2012 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Ich habe 2x2 Dichtematrix mit nichtdiagonalen Elementem ungleich Null. Dichtematrix ist hermitesch, sie lässt sich also immer diagonalisieren, was heißt, dass die Kohärenzen verschwinden.
Was bedeutet das physikalisch? |
Wenn ich gut denke, das bei Diagonalisierung wechselt man Basis, in der Dichtematrix dargestellt ist. Aber jede solche Basis entspricht Observable. Also zB. wenn ich in Ortsdarstellung wechsle und ich habe keine Kohärenzen, das heißt, dass Dichtematrix aus keinen Elementen der Art: |x><y| besteht, in Impulsdarstellung kann das aber anders sein und die Elemente |p><p'| können vorkommen.
Wenn Dichtematrix aus Elementen |p><p'| besteht, das heißt, dass wenn ich Frage stelle: Ob mein System hat Impuls p und ich messe, erhalte ich Antwort: Ja! Wenn ich gleich danach gleiche Frage stelle erhalte ich wieder Antwort: Ja! und bei Frage um p' Antwort:Nein. Wie unterscheidet sich also Zustand |p><p'| von |p><p|?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
die Kohaerenzen wuerde man ja messen koennen, indem man einen Operator
sich aussucht, der gerade sensitiv auf die nicht-diagonalen Eintraege der Dichtematrix ist. Z.b. wenn
[mm]\rho = \pmat{ \rho_{gg} & \rho_{ge} \\
\rho_{eg} & \rho_{ee} }[/mm]
wobei [mm] [/mm][mm]|e\rangle[/mm] z.B. der angeregte Zustand eines Zwei-Niveau-System
sein moege und [mm]|g\rangle[/mm] der Grundzustand, so dass also
[mm]\rho_{ee} = \langle e |\hat \rho | e\rangle[/mm] gelte etc.
Dann waere z.B. ein Operator, der die 'Kohaerenzen' (d.h. die nicht-diag.
Eintrage von [mm]\rho[/mm]) misst
[mm]\hat{ \mathcal O} = |e\rangle\langle g| + \text{h.c.}[/mm].
Denn dann gilt ja
[mm]\left\langle \hat{\mathcal O} \right\rangle = \mathrm Tr \hat\rho \hat{\mathcal O}= \rho_{ge}+\rho_{eg}[/mm]
Ok. Nun koennen wir diese Dichtematrix, die ja in der Basis der Zustaende
[mm]|e\rangle[/mm] und [mm]|g\rangle[/mm] geschrieben ist, transformieren in eine neue
Basis [mm]|+\rangle[/mm] und [mm]|-\rangle[/mm], in der die Dichtematrix diagonal ist.
Dann koennte man auf die Idee kommen, dass dann ja die oben
angesprochenen 'Kohaerenzen', die durch [mm]\hat{\mathcal O}[/mm] gemessen
werden, 'verschwinden', weil man dann ja keine Nicht-Diagonal-
Eintraege mehr in der Dichtematrix hat.
Dabei muss man dann aber aufpassen: Denn wenn wir nun die Basis
wechseln, so dass also gelten moege
[mm]|+\rangle = \alpha |e\rangle + \beta |g\rangle [/mm]
[mm]|-\rangle = \gamma |e\rangle + \delta |g\rangle[/mm]
(wobei die Koeff. passend gewaehlt wurden, so dass die Trafo
unitaer ist) und die Dichtematrix in der [mm]|+\rangle[/mm] und [mm]|-\rangle[/mm]-Basis
die Form
[mm]\rho = \pmat{ \rho_{++} & 0 \\
0 & \rho_{--} }[/mm]
annehmen soll. Dann wuerde man doch die Frage nach den
Kohaerenzen zwischen den 'alten' Zustaenden [mm]|e\rangle[/mm] und [mm]|g\rangle[/mm]
immer noch durch den Erwartungswert des Operators [mm]\hat{\mathcal O}[/mm] be-
antworten.
Diesen Operator muss man aber nun natuerlich auch transformieren in die
'neue' Basis [mm]|+\rangle[/mm],[mm]|-\rangle[/mm], um dann mit Hilfe der neuen,
diag. Dichtematrix den Erwartungswert dieses Operators auszurechnen.
Wenn man dann alles richtig gemacht hat, stellt man eben fest, dass
es immer noch die selben Kohaerenzen gibt zwischen den Zustaenden
[mm]|e\rangle[/mm] und [mm]|-\rangle[/mm].
Was man aber feststellt ist, dass es keine 'Kohaerenzen' zwischen
[mm]|+\rangle[/mm] und [mm]|-\rangle[/mm] mehr gibt, denn ein analoger Operator
[mm]\hat{ \mathcal O'} = |+\rangle\langle -| + \text{h.c.}[/mm]
wuerde hier ja [mm]0[/mm] ergeben.
Das heisst, man muss sich eben immer fragen, von welcher Basis man
ausgeht und welche Art von 'Kohaerenzen' zwischen genau welchen
Leveln man meint.
LG
Kroni
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