Die Euler'sche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 16.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
| Aufgabe | Für n ∈ N werden defniert: [mm] an:=(1+1/n)^n, [/mm] bn:=(1+1/n)^(n+1)
a) Schätzen Sie die Quotienten an/(an−1), und (bn−1)/bn mit der Bernoulli-Ungleichung ab.
b)Zeigen Sie, dass (In) n [mm] \in [/mm] mit In := [an,bn] eine Intervallschachtelung bildet. Die dadurch definierte Zahl heißt die Euler'sche Zahl e. (Verwenden Sie hierzu Teilaufgabe a)) |
Hallo,
ich sitze jetzt hier schon länger an dieser Aufgabe (Teil a) und ich hab keine Ahnung, was ich machen soll. Ich habe mir die Bernoulli Ungleichung natürlich rausgesucht
[mm] (1+n)^n \ge [/mm] 1 + nx
Ich weiß schon gar nicht, wo ich anfangen soll, bei an= oder dem Quotienten?
Also ich habe für den Quotienten die Def. eingesetzt (für an):
( 1+ (1/n) [mm] )^n [/mm] / ( 1+(1/n))^(n-1) =
Dann bekomme ich später (1+n)/n
Aber ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll. Bin ich denn auf dem richtigen Weg?
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Also ich habe für den Quotienten die Def. eingesetzt (für
> an):
>
> ( 1+ (1/n) [mm])^n[/mm] / ( 1+(1/n))^(n-1) =
>
>
> Dann bekomme ich später (1+n)/n
> Aber ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll. Bin ich
> denn auf dem richtigen Weg?
Du hast einfach gleich am Anfang etwas vergessen:
[mm] a_{n-1}=\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^{n-1}
[/mm]
und der Quotient wird damit zu
[mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}}=\bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}}{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^{n-1}}
[/mm]
Und das muss man jetzt erstmal ein wenig vereinfachen, bevor man sieht, wie hier die Bernoulli-Ungleichung insSpiel kommt. Das gleiche dann natürlich mit [mm] b_{n-1}/b_n.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 16.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
Danke für deine Antwort!
Ich werd hier grad verrückt und bezweifel, dass ich überhaupt weiß, wie ich den Bernoulli anwende.
Also, ich soll vereinfachen...und komme bis
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n-1})/(1+\bruch{1}{n-1})^n
[/mm]
(den doppelbruch bekomm ich hier nicht hin)
Stimmt das überhaupt soweit?
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Hallo,
nein, das sieht nicht richtig aus. Ich kann deine Rechenschritte nicht nachvollziehen. Man sollte hier aber unbedingt die Terme in den Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen, auch wenn der Tipp mit Bernoulli eben dies nicht nahelegt).
Also bspw. so:
[mm] \bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^{n-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1}}
[/mm]
Vom Zähler spaltest du dann einen Faktor so ab, dass Zähler und Nenner die gleiche Potenz haben. Dann kann man den Doppelbruch zu einem einfachen Bruch vereinfachen und jetzt kommt die Bernoulli-Ungleichung ins Spiel, um nach unten abzuschätzen. Denn, mache dir klar, wozu das gut ist: es geht hier um nichts weiter als um Monotonie! Man soll hier zeigen, dass [mm] a_n [/mm] monoton wächst und [mm] b_n [/mm] monoton fällt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 16.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
Sorry, ich kapiers nicht! Ist mir auch schon echt peinlich!
Ich spalte:
[mm] (\bruch{n+1}{n})^n^-^1 [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{n}) [/mm] * [mm] (\bruch{n-1}{n})^n^-^1
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo,
> Ich spalte:
>
> [mm](\bruch{n+1}{n})^n^-^1[/mm] * [mm](\bruch{n+1}{n})[/mm] * [mm](\bruch{n-1}{n})^n^-^1[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, das sieht doch gut aus. Jetzt fasse den ersten und den letzten Faktor zusammen und wende die Bernoulli-Ungleichung auf den Faktor mit der Potenz (n-1) an. Nochmal zur Erinnerung: zu zeigen ist, dass der Quotient [mm] a_n [/mm] / [mm] a_{n-1} [/mm] stets größer als 1 bleibt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 16.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
Ok, Zusammenfassung:
[mm] (\bruch{(n+1)+(n-1)}{n^2})^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] =
[mm] (\bruch{n^2-1}{n^2})^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] =
(1- [mm] \bruch{1}{n})^n^-^1 [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] =
[mm] (1-\bruch{n-1}{n}) [/mm] * [mm] (\bruch{n+1}{n}) [/mm] ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Calli |
> [mm](\bruch{n^2-1}{n^2})^n^-^1[/mm] * [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] =
>
> (1- [mm]\bruch{1}{n})^n^-^1[/mm] * [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm]
[mm] \left (\bruch{n^2-1}{n^2}\right )^{n-1}\cdot \bruch{n+1}{n}\red{\ne} \left (1-\bruch{1}{n}\right )^{n-1}\cdot \bruch{n+1}{n}
[/mm]
Mehr Konzentration bitte ! Richtig rechnen und Klammern ausmultiplizieren !
Ceterum censeo, definitionem [mm] $b_n$ [/mm] esse probandam. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mi 16.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
Ja, sorry, tut mir echt leid. Ich mach seit 1 Uhr heut Mittag nichts anderes.
Ich versuchs nochmal. Tut mir echt leid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Do 17.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Bis jetzt haben wir:
[mm] $\bruch {a_n} {a_{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch {(n+1)^n} {n^n}*\bruch {(n-1)^{n-1}} {n^{n-1}}$.
[/mm]
Um auf gleiche Exponenten zu kommen, darfst Du nicht vom linken Bruch [mm] $\bruch [/mm] {n+1} n $ abspalten, sondern mußt den rechten Bruch mit [mm] $\bruch [/mm] {n-1} n $ multiplizieren, sonst bekommst Du enorme Schwierigkeiten, [mm] $\bruch {a_n} {a_{n-1}}>1$ [/mm] zu zeigen.
Mit meinem Tipp erhälst Du:
[mm] $\bruch {a_n} {a_{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch {(n+1)^n} {n^n}*\bruch {(n-1)^{n}} {n^{n}}*\bruch [/mm] {n} [mm] {n-1}=\left(\bruch {n^2-1} {n^2} \right)^n* \bruch [/mm] {n} {n-1}$. Jetzt schreibe die linke Klammer noch ein bisschen um und wende Bernoulli an.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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