Die Wurzel aus einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \lim_{n \to \infty \infty }a_n [/mm] = a
[mm] \lim_{n \to \infty \infty } \sqrt[n]{a_1****a_n}=a [/mm] |
Hallo zusammen!
Und zwar habe ich ein Problem:
Wie kann man sowas beweisen?
Dass das stimmt ist ja eigentlich klar, weil wenn man "n" viele Folgenglieder miteinander multipliziert, bekommt man den Gernzwert hoch n heraus (also wenn man genügend viele Glieder nimmt.
Aber wie kann man das beweisen.
Einfach dass man sagt: [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] -> 0 ?
Ein kleiner Tipp wäre bestimmt hilfreich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss Mattes
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Du sagst nichts zu den [mm]a_i[/mm]. Aber ich vermute einmal, daß die alle positiv sein sollen, damit die Behauptung sinnvoll ist. Wenn man zu Logarithmen übergeht, dann ist zu zeigen:
[mm]\frac{1}{n} \left( \log{a_1} + \log{a_2} + \ldots + \log{a_n} \right) \to \log{a}[/mm]
Letztlich kommt es also darauf an, die folgende Aussage zu beweisen:
Ist [mm](b_n)_{n \geq 1}[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit [mm]b_n \to b[/mm], dann gilt auch [mm]\frac{1}{n} \left( b_1 + b_2 + \ldots + b_n \right) \to b[/mm].
Die Argumentation verläuft also so: Man beweist zunächst die letzte Behauptung, wendet sie dann, die Stetigkeit des Logarithmus ausnutzend, auf [mm]\left( \log{a_n} \right)_{n \geq 1}[/mm] an und exponenziert, um zur multiplikativen Form zurückzukommen.
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