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Forum "Integrationstheorie" - Diff.-barkeit mit Integral
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Diff.-barkeit mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Aufgabe
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und seien g,h:I [mm] \to [/mm] [a,b] differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige, dass dann auch K:I [mm] \to \IR [/mm] mit

K(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm]

differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x) gilt.


Hallo,

bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:

[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm]

existiert.

Für meine Aufgabe heißt das:

[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]

soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...

Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?

        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 So 22.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig und seien g,h:I [mm]\to[/mm] [a,b]
> differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige,
> dass dann auch K:I [mm]\to \IR[/mm] mit

>

> K(x) = [mm]\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}[/mm]

>

> differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) -
> f(g(x))g'(x) gilt.
> Hallo,

>

> bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für
> Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]

>

> existiert.

>

> Für meine Aufgabe heißt das:

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h}[/mm]

>

> soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich
> die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...

>

> Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?

Kannst du nicht den Hauptsatz der Integralrechnung bemühen - unter Beachtung der Kettenregel?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:31 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Möglicherweise kann man das so machen.

Der lautet bei uns:

Sei I ein Intervall. f [mm] \in [/mm] c(I) und a [mm] \in [/mm] I. Für x [mm] \in [/mm] I sei F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}. [/mm] Dann ist F differenzierbar.
Der Beweis läuft dann über den Grenzwert, wie ich ihn oben für meine Aufgabe auch benutzen wollte und den MWS der Integralrechnung.

Ok, dann mal wieder zur Aufgabe zurück:

Ich wähle:

g(x), h(x) [mm] \in [/mm] [a,b] und a [mm] \in [/mm] [a,b].
Dann gilt nach dem Haupsatz der Integralrechnung.

Für x [mm] \in [/mm] I ist F(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{a}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm]

Und das wäre ja genau K und nach dem Satz Diffbar. Meintest Du das eventuell so?

Bezug
                        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 24.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 So 22.11.2015
Autor: HJKweseleit

[mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]    jetzt die nahrhafte 0 einfügen

= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +(\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}-\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt})- \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]     trennen

= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]  - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}+ \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]     Integralregel


= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt} }{h} [/mm]  - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]


= [mm] \bruch{\integral_{h(x)}^{h(x+h)}{f(t) dt}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{g(x)}^{g(x+h)}{f(t) dt} }{h} [/mm]

Rest machst du.

Bezug
                
Bezug
Diff.-barkeit mit Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 So 22.11.2015
Autor: mathelernender

Danke, habs jetzt hinbekommen! :)

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