DiffGeo: lokale Normalform ? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Satz (lokale Normalform): Es sei $ c : I [mm] \to \IR^2 [/mm] $ eine reguläre Kurve. Im Punkt $ P = [mm] c(t_0)$ [/mm] habe $ c $ die Tangente $ T:= [mm] \dfrac{c'(t_0)}{|c'(t_0)|} [/mm] $ und die Normale $\ N := JT $. Sei ferner $ [mm] \kappa$ [/mm] die Krümmung von $ c $ im Punkt $ [mm] t_0$. [/mm] Dann gibt es eine orientierungserhaltende Parametertransformation $ [mm] \varphi: (-\varepsilon,\varepsilon) \to [/mm] I $ mit $ [mm] \varphi(0) [/mm] = [mm] t_0$, [/mm] so dass $ [mm] \tilde [/mm] c := c [mm] \circ \varphi [/mm] $ die lokale Normalform besitzt
$ [mm] \tilde [/mm] c(t) = P + tT+ [mm] \dfrac{1}{2}\kappa [/mm] t^2N + [mm] \mathcal{O}(t^3)N, [/mm] \ \ \ [mm] -\varepsilon [/mm] < t < [mm] \varepsilon [/mm] $ |
Moin!
im Beweis des obigen Satzes gibt es eine Stelle, an der ich nicht durchsteige. Der Beweis beginnt folgendermaßen:
Setzen wir $ [mm] s(\tau) [/mm] := [mm] \langle c(\tau) [/mm] - P, \ T [mm] \rangle [/mm] $, so soll für die Parametertransformation $ [mm] \varphi [/mm] $ gelten:
$ [mm] s(\varphi(t)) [/mm] = [mm] \langle c(\varphi(t))-P, [/mm] \ T [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \tilde [/mm] c(t) - P, \ T [mm] \rangle \underbrace{\red{=}}_{?} [/mm] t $
Die (rot)markierte Gleichheit verstehe ich nicht. Laut Skript folgt sie aus der oben definierten Normalenform Normalform
$ [mm] \tilde [/mm] c(t) = P + tT+ [mm] \dfrac{1}{2}\kappa [/mm] t^2N + [mm] \mathcal{O}(t^3)N, [/mm] \ \ \ [mm] -\varepsilon [/mm] < t < [mm] \varepsilon [/mm] $
Doch wie das?
Ich habe bereits versucht P, T usw entsprechend der Definition als Vektoren darzustellen um zu sehen, ob das Skalarprodukt wirklich $ t $ gibt. Das schien mir aber irgendwie nicht der richtige Weg zu sein.
Kann mir zufaellig jemand einen Denkanstoß geben?
Freue mich über jede Antwort.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Di 16.11.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi nochmal,
ich weiß nun bescheid.
Ich schreib' später evtl noch was dazu.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Di 16.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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