Diff'barkeit und Monotonie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei I ein Intervall und f: I [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Setze Z := [mm] \{x \in I | f'(x) = 0\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f genau dann streng monoton wachsend ist, wenn f' [mm] \ge [/mm] 0 gilt und Z kein Intervall positiver Länge enthält. |
Hallo,
ist mein Beweis so richtig?
Beweis:
[mm] ,,\Rightarrow''
[/mm]
Sei f streng monoton wachsend.
Seien [mm] x_0, [/mm] x [mm] \in [/mm] I mit O.B.d.A [mm] x_0 [/mm] < x, also [mm] x-x_0 [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow f(x_0) [/mm] < f(x), also [mm] f(x)-f(x_0) [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge [/mm] 0
Angenommen Z enthält ein Intervall J positiver Länge.
[mm] \Rightarrow [/mm] J [mm] \subset [/mm] I
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] J
[mm] \Rightarrow [/mm] f konstant auf J, aber das ist ein Widerspruch zu f streng monoton steigend. Also enthält Z kein Intervall positiver Länge und [mm] ,,\Rightarrow'' [/mm] gilt.
[mm] ,,\Leftarrow''
[/mm]
Sei f' [mm] \ge [/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall positiver Länge.
[mm] \Rightarrow [/mm] f monoton steigend auf I
Wenn Z = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] f' > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton steigend.
Sei nun Z [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f auf [mm] \mbox{I\setminus Z} [/mm] streng monoton steigend.
Sei [mm] x_1 \in [/mm] Z und wähle [mm] \delta [/mm] > 0 so, dass [mm] \mbox{(x_1-\delta, x_1+\delta) \cap Z = \{x_1\}}.
[/mm]
Dies ist möglich, da Z kein Intervall positiver Länge enthält.
[mm] \Rightarrow f(x_1) \le [/mm] f(x) für x [mm] \in (x_1, x_1+\delta) [/mm] bzw. f(x) [mm] \le f(x_1) [/mm] für x [mm] \in (x_1-\delta, x_1)
[/mm]
Angenommen [mm] f(x_1) [/mm] = f(x) für ein [mm] \mbox{x \in (x_1-\delta,x_1+\delta)\setminus\{x_1\}},
[/mm]
also x > [mm] x_1 [/mm] oder x < [mm] x_1.
[/mm]
Dann finden wir ein [mm] \mbox{a \in (x_1-\delta,x_1+\delta)\setminus\{x_1\}}
[/mm]
mit [mm] x_1 [/mm] < a < x oder [mm] x_1 [/mm] > a > x so, dass
f(a) < [mm] f(x_1) [/mm] = f(x) oder f(a) > [mm] f(x_1) [/mm] = f(x) gilt, da f auf [mm] \mbox{I\setminus Z} [/mm] streng monoton steigend ist (Beachte, dass a und x aus [mm] \mbox{I\setminus Z} [/mm] sind)
Aber f ist auf I monoton wachsend, und somit sind f(a) < [mm] f(x_1) [/mm] bzw. f(a) > [mm] f(x_1) [/mm] Widersprüche.
[mm] \Rightarrow f(x_1) \not= [/mm] f(x) und die Ungleichungen sind streng.
Da dies für jedes beliebige [mm] x_1 \in [/mm] Z gilt, gilt [mm] ,,\Leftarrow''.
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei I ein Intervall und f: I [mm]\to \IR[/mm] eine differenzierbare
> Funktion. Setze Z := [mm]\{x \in I | f'(x) = 0\}.[/mm]
> Zeigen Sie,
> dass f genau dann streng monoton wachsend ist, wenn f' [mm]\ge[/mm]
> 0 gilt und Z kein Intervall positiver Länge enthält.
>
> Hallo,
>
> ist mein Beweis so richtig?
>
> Beweis:
>
> [mm],,\Rightarrow''[/mm]
>
> Sei f streng monoton wachsend.
> Seien [mm]x_0,[/mm] x [mm]\in[/mm] I mit O.B.d.A [mm]x_0[/mm] < x, also [mm]x-x_0[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow f(x_0)[/mm] < f(x), also [mm]f(x)-f(x_0)[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow f'(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge[/mm]
> 0
>
> Angenommen Z enthält ein Intervall J positiver Länge.
> [mm]\Rightarrow[/mm] J [mm]\subset[/mm] I
> [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] J
> [mm]\Rightarrow[/mm] f konstant auf J, aber das ist ein Widerspruch
> zu f streng monoton steigend. Also enthält Z kein
> Intervall positiver Länge und [mm],,\Rightarrow''[/mm] gilt.
Das ist O.K.
>
> [mm],,\Leftarrow''[/mm]
>
> Sei f' [mm]\ge[/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall positiver
> Länge.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f monoton steigend auf I
> Wenn Z = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm] f' > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f streng
> monoton steigend.
> Sei nun Z [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f auf
> [mm]\mbox{I\setminus Z}[/mm] streng monoton steigend.
>
> Sei [mm]x_1 \in[/mm] Z und wähle [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass
> [mm]\mbox{(x_1-\delta, x_1+\delta) \cap Z = \{x_1\}}.[/mm]
> Dies ist
> möglich, da Z kein Intervall positiver Länge enthält.
Oh hoo ! Das ist gewagt ! Stell Dir mal vor, es wäre [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] Z=\{1/n: n \in \IN\} \cup \{0\}. [/mm] Kannst Du das ausschließen ?
FRED
> [mm]\Rightarrow f(x_1) \le[/mm] f(x) für x [mm]\in (x_1, x_1+\delta)[/mm]
> bzw. f(x) [mm]\le f(x_1)[/mm] für x [mm]\in (x_1-\delta, x_1)[/mm]
>
> Angenommen [mm]f(x_1)[/mm] = f(x) für ein [mm]\mbox{x \in (x_1-\delta,x_1+\delta)\setminus\{x_1\}},[/mm]
>
> also x > [mm]x_1[/mm] oder x < [mm]x_1.[/mm]
> Dann finden wir ein [mm]\mbox{a \in (x_1-\delta,x_1+\delta)\setminus\{x_1\}}[/mm]
>
> mit [mm]x_1[/mm] < a < x oder [mm]x_1[/mm] > a > x so, dass
> f(a) < [mm]f(x_1)[/mm] = f(x) oder f(a) > [mm]f(x_1)[/mm] = f(x) gilt, da f
> auf [mm]\mbox{I\setminus Z}[/mm] streng monoton steigend ist
> (Beachte, dass a und x aus [mm]\mbox{I\setminus Z}[/mm] sind)
> Aber f ist auf I monoton wachsend, und somit sind f(a) <
> [mm]f(x_1)[/mm] bzw. f(a) > [mm]f(x_1)[/mm] Widersprüche.
> [mm]\Rightarrow f(x_1) \not=[/mm] f(x) und die Ungleichungen sind
> streng.
> Da dies für jedes beliebige [mm]x_1 \in[/mm] Z gilt, gilt
> [mm],,\Leftarrow''.[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
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> > [mm],,\Leftarrow''[/mm]
> >
> > Sei f' [mm]\ge[/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall positiver
> > Länge.
> > [mm]\Rightarrow[/mm] f monoton steigend auf I
> > Wenn Z = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm] f' > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f
> streng
> > monoton steigend.
> > Sei nun Z [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] f auf
> > [mm]\mbox{I\setminus Z}[/mm] streng monoton steigend.
> >
> > Sei [mm]x_1 \in[/mm] Z und wähle [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass
> > [mm]\mbox{(x_1-\delta, x_1+\delta) \cap Z = \{x_1\}}.[/mm]
> >
> Dies ist
> > möglich, da Z kein Intervall positiver Länge enthält.
>
>
> Oh hoo ! Das ist gewagt ! Stell Dir mal vor, es wäre
> [mm]x_1=0[/mm] und [mm]Z=\{1/n: n \in \IN\} \cup \{0\}.[/mm] Kannst Du das
> ausschließen ?
>
> FRED
Nein, ausschließen kann ich das nicht. Ich weiß jetzt auch nicht, wie ich meinen Beweis fehlerfrei machen kann. Hast du einen Tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > [mm],,\Leftarrow''[/mm]
> > >
> > > Sei f' [mm]\ge[/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall positiver
> > > Länge.
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] f monoton steigend auf I
> > > Wenn Z = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm] f' > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f
> > streng
> > > monoton steigend.
> > > Sei nun Z [mm]\not= \emptyset.[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] f auf
> > > [mm]\mbox{I\setminus Z}[/mm] streng monoton steigend.
> > >
> > > Sei [mm]x_1 \in[/mm] Z und wähle [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass
> > > [mm]\mbox{(x_1-\delta, x_1+\delta) \cap Z = \{x_1\}}.[/mm]
> > >
>
> > Dies ist
> > > möglich, da Z kein Intervall positiver Länge enthält.
> >
> >
> > Oh hoo ! Das ist gewagt ! Stell Dir mal vor, es wäre
> > [mm]x_1=0[/mm] und [mm]Z=\{1/n: n \in \IN\} \cup \{0\}.[/mm] Kannst Du das
> > ausschließen ?
> >
> > FRED
>
> Nein, ausschließen kann ich das nicht. Ich weiß jetzt
> auch nicht, wie ich meinen Beweis fehlerfrei machen kann.
> Hast du einen Tipp?
naja, vielleicht mit Häufungspunkten arbeiten. Aber ich denke eher, dass
das viel zu kompliziert wird. (So ganz habe ich auch nicht den Durchblick
bekommen, wie Du das im Beweis da weiter machen wolltest!)
Mach' es doch anders: Sei [mm] $f\,' \ge [/mm] 0$ und $Z [mm] \subseteq [/mm] I$ enthalte kein Intervall
(echt) positiver Länge. Angenommen, [mm] $f\,$ [/mm] wäre nicht streng monoton
wachsend. Dann wäre wegen der Monotonie - Du selbst hast ja schon [mm] $f\,$ [/mm]
wegen [mm] $f\,'\ge [/mm] 0$ als monoton steigend auf ganz [mm] $I\,$ [/mm] erkannt (wäre es
unbekannt gewesen, so hätte ich Dich gebeten, dies mithilfe des MWS der
Differentialrechnung zu beweisen!) - sicherlich [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv. (Denn
[mm] $f\,$ [/mm] monoton und injektiv liefert [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton!)
Es existieren also $a,b [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $f(a)=f(b)\,,$ [/mm] wobei $a [mm] \not=b\,.$ [/mm] Dabei kannst
Du o.E. $a < [mm] b\,$ [/mm] annehmen (andernfalls vertauschen wir $a [mm] \leftrightarrow b$). Was folgt
dann aber für alle $x \in I_1:=[a,b]$? Damit ist $I_1 \subseteq ...$? (Du kannst
auch den inneren Kern von $I_1$ nehmen, oder eines der beiden
halboffenen Intervalle $(a,b]\,$ bzw. $[a,b)\,$)! Und wieso haben wir nun
einen Widerspruch?
P.S. Übrigens ist das, was ich oben vorschlage, eigentlich eher eine Art
Beweis durch Kontraposition (Erinnerung:
$(A \Rightarrow B) \iff ((\neg B) \Rightarrow (\neg A))\,.$)
Denn anstatt $(A \wedge B) \Rightarrow C$ zu beweisen, beweisen wir eigentlich
$$(\neg C) \Rightarrow \neg(A \wedge B)\,,$$
bzw.
$$(\neg C) \Rightarrow ((\neg A) \vee (\neg B))\,.$$
Und das machen wir dann so: Gelte $\neg C\,.$ ($f\,$ nicht streng monoton steigend!)
Falls nun $\neg A$ gilt (d.h., falls $f\,' \ge 0$ nicht gilt), so haben wir nichts
mehr zu beweisen. ($\neg A$ und damit auch $(\neg A) \vee (\neg B)$ sind wahr!)
Es bleibt der Fall, dass $A\,$ gelte (d.h. der Fall, dass $f\,' \ge 0$ gilt). Dann
ist die Wahrheit von $(\neg A) \vee (\neg B)$ zu beweisen, was nur noch geht, wenn $\neg B\,$ gilt.
(Es ist also zu zeigen, dass, wenn $f\,' \ge 0$ gilt, folglich die Aussage, dass
$Z\,$ kein Intervall (echt) positiver Länge enthält, falsch sein muss!) Genau
das haben wir oben getan!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:05 Di 23.04.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> Mach' es doch anders: Sei [mm]f\,' \ge 0[/mm] und [mm]Z \subseteq I[/mm]
> enthalte kein Intervall
> (echt) positiver Länge. Angenommen, [mm]f\,[/mm] wäre nicht
> streng monoton
> wachsend. Dann wäre wegen der Monotonie - Du selbst hast
> ja schon [mm]f\,[/mm]
> wegen [mm]f\,'\ge 0[/mm] als monoton steigend auf ganz [mm]I\,[/mm] erkannt
> (wäre es
> unbekannt gewesen, so hätte ich Dich gebeten, dies
> mithilfe des MWS der
> Differentialrechnung zu beweisen!) - sicherlich [mm]f\,[/mm] nicht
> injektiv. (Denn
> [mm]f\,[/mm] monoton und injektiv liefert [mm]f\,[/mm] streng monoton!)
> Es existieren also [mm]a,b \in I[/mm] mit [mm]f(a)=f(b)\,,[/mm] wobei [mm]a \not=b\,.[/mm]
> Dabei kannst
> Du o.E. [mm]a < b\,[/mm] annehmen (andernfalls vertauschen wir [mm]a \leftrightarrow b[/mm]).
> Was folgt
> dann aber für alle [mm]x \in I_1:=[a,b][/mm]? Damit ist [mm]I_1 \subseteq ...[/mm]?
> (Du kannst
> auch den inneren Kern von [mm]I_1[/mm] nehmen, oder eines der
> beiden
> halboffenen Intervalle [mm](a,b]\,[/mm] bzw. [mm][a,b)\,[/mm])! Und wieso
> haben wir nun
> einen Widerspruch?
Ja, das seh' ich auch nicht. Was folgt denn für [mm] $x\in I_1\,?$ [/mm] Jedenfalls nicht [mm] $f'(x)=0\,,$ [/mm] oder was meinst Du?
Mit neugierigen Grüßen,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 Di 23.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Wolfgang,
> > Mach' es doch anders: Sei [mm]f\,' \ge 0[/mm] und [mm]Z \subseteq I[/mm]
> > enthalte kein Intervall
> > (echt) positiver Länge. Angenommen, [mm]f\,[/mm] wäre nicht
> > streng monoton
> > wachsend. Dann wäre wegen der Monotonie - Du selbst
> hast
> > ja schon [mm]f\,[/mm]
> > wegen [mm]f\,'\ge 0[/mm] als monoton steigend auf ganz [mm]I\,[/mm] erkannt
> > (wäre es
> > unbekannt gewesen, so hätte ich Dich gebeten, dies
> > mithilfe des MWS der
> > Differentialrechnung zu beweisen!) - sicherlich [mm]f\,[/mm]
> nicht
> > injektiv. (Denn
> > [mm]f\,[/mm] monoton und injektiv liefert [mm]f\,[/mm] streng monoton!)
> > Es existieren also [mm]a,b \in I[/mm] mit [mm]f(a)=f(b)\,,[/mm] wobei [mm]a \not=b\,.[/mm]
> > Dabei kannst
> > Du o.E. [mm]a < b\,[/mm] annehmen (andernfalls vertauschen wir [mm]a \leftrightarrow b[/mm]).
> > Was folgt
> > dann aber für alle [mm]x \in I_1:=[a,b][/mm]? Damit ist [mm]I_1 \subseteq ...[/mm]?
> > (Du kannst
> > auch den inneren Kern von [mm]I_1[/mm] nehmen, oder eines der
> > beiden
> > halboffenen Intervalle [mm](a,b]\,[/mm] bzw. [mm][a,b)\,[/mm])! Und wieso
> > haben wir nun
> > einen Widerspruch?
>
> Ja, das seh' ich auch nicht. Was folgt denn für [mm]x\in I_1\,?[/mm]
> Jedenfalls nicht [mm]f'(x)=0\,,[/mm] oder was meinst Du?
Wenn ich nicht gerade ein Brett vorm Kopf habe, folgt in der Tat $f'(x)=0$ für alle [mm] $x\in I_1$.
[/mm]
Denn wegen der Monotonie von $f$ gilt
[mm] $f(a)\le f(x)\le [/mm] f(b)=f(a)$
und somit $f(x)=f(a)$ für alle [mm] $x\in I_1$. [/mm] $f$ ist also konstant auf [mm] $I_1$. [/mm] Da [mm] $I_1$ [/mm] positive Länge hat, folgt somit $f'(x)=0$ für alle [mm] $x\in I_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias und Wolfgang!
> Hallo Wolfgang,
>
>
> > > Mach' es doch anders: Sei [mm]f\,' \ge 0[/mm] und [mm]Z \subseteq I[/mm]
> > > enthalte kein Intervall
> > > (echt) positiver Länge. Angenommen, [mm]f\,[/mm] wäre nicht
> > > streng monoton
> > > wachsend. Dann wäre wegen der Monotonie - Du selbst
> > hast
> > > ja schon [mm]f\,[/mm]
> > > wegen [mm]f\,'\ge 0[/mm] als monoton steigend auf ganz [mm]I\,[/mm] erkannt
> > > (wäre es
> > > unbekannt gewesen, so hätte ich Dich gebeten, dies
> > > mithilfe des MWS der
> > > Differentialrechnung zu beweisen!) - sicherlich [mm]f\,[/mm]
> > nicht
> > > injektiv. (Denn
> > > [mm]f\,[/mm] monoton und injektiv liefert [mm]f\,[/mm] streng monoton!)
> > > Es existieren also [mm]a,b \in I[/mm] mit [mm]f(a)=f(b)\,,[/mm] wobei
> [mm]a \not=b\,.[/mm]
> > > Dabei kannst
> > > Du o.E. [mm]a < b\,[/mm] annehmen (andernfalls vertauschen
> wir [mm]a \leftrightarrow b[/mm]).
> > > Was folgt
> > > dann aber für alle [mm]x \in I_1:=[a,b][/mm]? Damit ist [mm]I_1 \subseteq ...[/mm]?
> > > (Du kannst
> > > auch den inneren Kern von [mm]I_1[/mm] nehmen, oder eines der
> > > beiden
> > > halboffenen Intervalle [mm](a,b]\,[/mm] bzw. [mm][a,b)\,[/mm])! Und wieso
> > > haben wir nun
> > > einen Widerspruch?
> >
> > Ja, das seh' ich auch nicht. Was folgt denn für [mm]x\in I_1\,?[/mm]
> > Jedenfalls nicht [mm]f'(x)=0\,,[/mm]
@ Wolfgang: doch!
> oder was meinst Du?
@ Wolfgang: Genau das!
> Wenn ich nicht gerade ein Brett vorm Kopf habe, folgt in
> der Tat [mm]f'(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in I_1[/mm].
@ Tobias: Das sehe ich genauso!
> Denn wegen der Monotonie von [mm]f[/mm] gilt
>
> [mm]f(a)\le f(x)\le f(b)=f(a)[/mm]
Eben, daher gilt für alle $x [mm] \in I_1$ [/mm] auch [mm] $f(x)=f(a)\,,$ [/mm] also ist [mm] $f_{|I_1}=\text{konstant}$!
[/mm]
In trivialer Weise ist sodann [mm] $f_{|I_1}\,'=0\,.$ [/mm]
> und somit [mm]f(x)=f(a)[/mm] für alle [mm]x\in I_1[/mm]. [mm]f[/mm] ist also konstant
> auf [mm]I_1[/mm].
Genau, wir denken also das Gleiche!
> Da [mm]I_1[/mm] positive Länge hat,
Das folgt nämlich wegen $a < b [mm] \Rightarrow [/mm] b-a > [mm] 0\,.$
[/mm]
> folgt somit [mm]f'(x)=0[/mm]
> für alle [mm]x\in I_1[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
@ Wolfgang: Ich verstehe Deinen Einwand nun nicht. Übersehe ich was,
oder hast Du übersehen/vergessen, dass wir [mm] $f\,'> [/mm] 0 [mm] \Rightarrow$ $f\,$ [/mm] monoton
steigend auf [mm] $I\,$ [/mm] benutzt haben? (Das dürfen wir, ansonsten kann man das ja schnell
mit dem MWS beweisen. Was halt zu tun bleibt, ist, bei dem "monoton steigend" ein
"streng" hinzuzufügen, bzw. zu begründen, warum das geht!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 23.04.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel und Tobias,
ich hatte heute morgen tatsächlich ein Brett vorm Kopf. Danke für's Abnehmen desselben.
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Marcel,
bevor ich deinen Beitrag gelesen habe, ist mir auch in den Sinn gekommen, einen Widerspruchsbeweis zu machen, und ich denke, dass stimmt jetzt auch so.
Beweis:
[mm] ,,\Leftarrow'' [/mm] Sei f' [mm] \ge [/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall positiver Länge.
[mm] \Rightarrow [/mm] f monoton steigend auf I
Angenommen f ist nicht streng monoton steigend, dann gilt:
[mm] \exists x_1, y_1 \in [/mm] I: [mm] x_1 [/mm] < [mm] y_1 \Rightarrow f(x_1) \ge f(y_1)
[/mm]
Da f aber monoton steigend ist, folgt [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(y_1).
[/mm]
Sei x [mm] \in (x_1, y_1) \subset [/mm] I.
[mm] \Rightarrow f(x_1) \le [/mm] f(x) und f(x) [mm] \le f(y_1), [/mm] da f monoton steigend.
Aber [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(y_1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_1) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_1) [/mm] für alle x [mm] \in (x_1,y_1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_1) [/mm] = f(x) für alle x [mm] \in (x_1,y_1)
[/mm]
Damit ist f konstant auf [mm] (x_1,y_1) [/mm] und somit f'(x) = 0 für alle x [mm] \in (x_1,y_1)
[/mm]
Damit enthält Z ein Intervall positiver Länge, was aber ein Widerspruch zu unseren Voraussetzungen ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend.
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
>
> bevor ich deinen Beitrag gelesen habe, ist mir auch in den
> Sinn gekommen, einen Widerspruchsbeweis zu machen, und ich
> denke, dass stimmt jetzt auch so.
>
> Beweis:
>
> [mm],,\Leftarrow''[/mm] Sei f' [mm]\ge[/mm] 0 und Z enthalte kein Intervall
> positiver Länge.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f monoton steigend auf I
>
> Angenommen f ist nicht streng monoton steigend, dann gilt:
>
> [mm]\exists x_1, y_1 \in[/mm] I: [mm]x_1[/mm] < [mm]y_1 \Rightarrow f(x_1) \ge f(y_1)[/mm]
>
> Da f aber monoton steigend ist, folgt [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(y_1).[/mm]
> Sei x [mm]\in (x_1, y_1) \subset[/mm] I.
> [mm]\Rightarrow f(x_1) \le[/mm] f(x) und f(x) [mm]\le f(y_1),[/mm] da f
> monoton steigend.
> Aber [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(y_1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x_1) \le[/mm] f(x) [mm]\le f(x_1)[/mm] für alle x [mm]\in (x_1,y_1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x_1)[/mm] = f(x) für alle x [mm]\in (x_1,y_1)[/mm]
> Damit
> ist f konstant auf [mm](x_1,y_1)[/mm] und somit f'(x) = 0 für alle
> x [mm]\in (x_1,y_1)[/mm]
> Damit enthält Z ein Intervall positiver
> Länge, was aber ein Widerspruch zu unseren Voraussetzungen
> ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f streng monoton wachsend.
ja, alles Bestens
FRED
>
> [mm]\Box[/mm]
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Ok, danke euch allen.
Grüsse
Alexander
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