Diffbar in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man betrachte [mm] f:\IR^2->\IR, [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } y \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } y \mbox{ = 0}\\-x^2,& \mbox{für } y \mbox{< 0} \end{cases}
[/mm]
Ist f differenzierbar in (0,0)? |
So, habe große Probleme bei der Diffbarkeit mit mehreren Variablen.
Mein Vorgehen wäre folgendes:
1) Schauen, ob die partiellen Ableitungen existieren
2) die partiellen Ableitung in die Definition von Diffbarkeit einsetzen und gucken, ob es stimmt
So, also ich fange mal mit den partiellen Ableitungen an
[mm] \partial_{1}f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}
[/mm]
f(0,0) ist Null und f(h,0) ist auch Null nach Definition
Also existiert die partielle Ableitung in dem Punkt (0,0)
[mm] \partial_{2}f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}
[/mm]
f(0,0) ist wieder Null, aber bei f(0,h) muss ich doch jetzt ne Fallunterscheidung machen, oder?
Also für y>0 [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^2}{h} [/mm] und das existiert nicht
Für y=0 hat man [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}, [/mm] also wäre die partielle Ableitung 0
Für y<0 hat man [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-x^2}{h} [/mm] und die partielle Ableitung existiert wieder nicht.
Demnach wäre f also nicht diffbar, oder? Wenn eine partielle Ableitung nicht existiert, dann ist die Funktion nicht diffbar.
Kann mir wer sagen, ob das richtig ist und auch richtig begründet?
Meine Zweifel liegen vor allen in der Fallunterscheidung. Ich sage ja, für y<0, aber ich weiß ja, dass y=0 gelten muss...deswegen bin ich mir da sehr unsicher.
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo TheBozz-mismo,
> Man betrachte [mm]f:\IR^2->\IR,[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } y \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } y \mbox{ = 0}\\-x^2,& \mbox{für } y \mbox{< 0} \end{cases}[/mm]
>
> Ist f differenzierbar in (0,0)?
> So, habe große Probleme bei der Diffbarkeit mit mehreren
> Variablen.
> Mein Vorgehen wäre folgendes:
> 1) Schauen, ob die partiellen Ableitungen existieren
> 2) die partiellen Ableitung in die Definition von
> Diffbarkeit einsetzen und gucken, ob es stimmt
>
> So, also ich fange mal mit den partiellen Ableitungen an
>
> [mm]\partial_{1}f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> f(0,0) ist Null und f(h,0) ist auch Null nach Definition
> Also existiert die partielle Ableitung in dem Punkt (0,0)
>
> [mm]\partial_{2}f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> f(0,0) ist wieder Null, aber bei f(0,h) muss ich doch jetzt
> ne Fallunterscheidung machen, oder?
Die partiellen Ableitungen nach y verschwinden hier alle,
da f nicht von y abhängig ist.
Demnach bedarf es hier keiner Fallunterscheidung.
> Also für y>0 [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^2}{h}[/mm] und
> das existiert nicht
> Für y=0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h},[/mm]
> also wäre die partielle Ableitung 0
> Für y<0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-x^2}{h}[/mm]
> und die partielle Ableitung existiert wieder nicht.
Setze anstelle des x ein h, kürze und bilde dann
den Grenzwert für [mm]h \to 0[/mm].
>
> Demnach wäre f also nicht diffbar, oder? Wenn eine
> partielle Ableitung nicht existiert, dann ist die Funktion
> nicht diffbar.
>
> Kann mir wer sagen, ob das richtig ist und auch richtig
> begründet?
>
> Meine Zweifel liegen vor allen in der Fallunterscheidung.
> Ich sage ja, für y<0, aber ich weiß ja, dass y=0 gelten
> muss...deswegen bin ich mir da sehr unsicher.
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe
>
> Mit freundlichen Grüßen
> TheBozz-mismo
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo
Vielen Dank schonmal, aber hab noch ne Frage:
>
> Die partiellen Ableitungen nach y verschwinden hier
> alle,
> da f nicht von y abhängig ist.
>
> Demnach bedarf es hier keiner Fallunterscheidung.
>
So, das, was du sagst, klingt logisch, weil in der Funktionsvorschrift kein y vorkommt.
>
> > Also für y>0 [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^2}{h}[/mm] und
> > das existiert nicht
> > Für y=0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h},[/mm]
> > also wäre die partielle Ableitung 0
> > Für y<0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-x^2}{h}[/mm]
> > und die partielle Ableitung existiert wieder nicht.
>
>
> Setze anstelle des x ein h, kürze und bilde dann
> den Grenzwert für [mm]h \to 0[/mm].
Ok, ist ja irgendwie auch logisch, dass ich ein h nehmen muss. Dann existiert der Grenzwert in allen drei Fällen, denn man bleibt ja h bzw. - h übrig und das geht gegen 0.
Also existieren die partiellen Ableitungen.
Aber diffbar ist sie doch trotzdem nicht, oder?
Muss man jetzt die Ableitungen in die Definition einsetzen und zeigen, dass das nicht klappt?
Besten Dank
theBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo
> Vielen Dank schonmal, aber hab noch ne Frage:
>
> >
> > Die partiellen Ableitungen nach y verschwinden hier
> > alle,
> > da f nicht von y abhängig ist.
> >
> > Demnach bedarf es hier keiner Fallunterscheidung.
> >
> So, das, was du sagst, klingt logisch, weil in der
> Funktionsvorschrift kein y vorkommt.
> >
> > > Also für y>0 [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x^2}{h}[/mm] und
> > > das existiert nicht
> > > Für y=0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h},[/mm]
> > > also wäre die partielle Ableitung 0
> > > Für y<0 hat man [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-x^2}{h}[/mm]
> > > und die partielle Ableitung existiert wieder nicht.
> >
> >
> > Setze anstelle des x ein h, kürze und bilde dann
> > den Grenzwert für [mm]h \to 0[/mm].
>
> Ok, ist ja irgendwie auch logisch, dass ich ein h nehmen
> muss. Dann existiert der Grenzwert in allen drei Fällen,
> denn man bleibt ja h bzw. - h übrig und das geht gegen 0.
>
> Also existieren die partiellen Ableitungen.
> Aber diffbar ist sie doch trotzdem nicht, oder?
Diff'bar ist die Funktion in (0,0) wenn alle Grenzwerte existieren
und zudem auch noch übereinstimmen.
> Muss man jetzt die Ableitungen in die Definition einsetzen
> und zeigen, dass das nicht klappt?
>
>
> Besten Dank
>
> theBozz-mismo
>
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal
>
> Diff'bar ist die Funktion in (0,0) wenn alle Grenzwerte
> existieren
> und zudem auch noch übereinstimmen.
Wir haben Diffbar dann wohl anders definiert
Nochmal zur Aufgabe:
Also die partiellen Ableitungen existieren uns sind 0?
Nun muss man zeigen, dass
$ [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{\parallel f(x,y)-f(0,0)-\vektor{0 \\ 0}\vektor{x-0 \\ y-0} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-0} \parallel\ }=0 [/mm] $
Ist die Funktion diffbar in (0,0)? Kann mir das einer sagen, dann weiß ich, in welche Richtugn ich abschätzen muss und wenn ich mir das Bild betrachte,würde ich sagen, dass sie dort nicht diffbar ist.
Ich freue mich über jede Hilfe
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 28.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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