Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Aufgabe:
Ist [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}diffbar?
[/mm]
Ich möchte obige Aufgabe mit folgendem Kriterium lösen:
Kriterium:
Ist f in einer Umgebung des Punktes a nach allen Variablen partiell diffbar und sind die partiellen Ableitungen stetig bei a, so ist f bei a diffbar. [mm] (a=(a_{1},....,a_{n})
[/mm]
Meine Lösung:
Für [mm] (x,y)\not=(0,0): [/mm] Komp. diffbarer Fkt. [mm] \Rightarrow [/mm] diffbar
Für (x,y)=(0,0):
1) partielle Ableitung bei (0,0)
Wegen der Symmetrie in x und y reicht es nur [mm] f_{x} [/mm] zu untersuchen.
Ausserhalb von (0,0) ist
[mm] f_{x}=\bruch{2*x*y^{2}*(x^{2}+y^{2})-x^{2}*y^{2}*2*x}{(x^{2}+y^{2})^2}
[/mm]
Nun muss ich ja [mm] f_{x}(0,0) [/mm] berchnen, dies gibt aber [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] was ja undefiniert ist!!
Wie kann ich dies also berechnen??
2) Stetigkeit
Klar.
Könnte mir jemand helfen??
Liebe Grüsse
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Hallo Babybel73,
> Hallo zusammen.
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> Aufgabe:
> Ist [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\
0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}diffbar?[/mm]
>
> Ich möchte obige Aufgabe mit folgendem Kriterium lösen:
>
> Kriterium:
> Ist f in einer Umgebung des Punktes a nach allen Variablen
> partiell diffbar und sind die partiellen Ableitungen stetig
> bei a, so ist f bei a diffbar. [mm](a=(a_{1},....,a_{n})[/mm]
>
> Meine Lösung:
> Für [mm](x,y)\not=(0,0):[/mm] Komp. diffbarer Fkt. [mm]\Rightarrow[/mm] diffbar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für (x,y)=(0,0):
> 1) partielle Ableitung bei (0,0)
> Wegen der Symmetrie in x und y reicht es nur [mm]f_{x}[/mm] zu
> untersuchen.
> Ausserhalb von (0,0) ist
>
> [mm]f_{x}=\bruch{2*x*y^{2}*(x^{2}+y^{2})-x^{2}*y^{2}*2*x}{(x^{2}+y^{2})^2}[/mm]
Fasse noch zusammen!
> Nun muss ich ja [mm]f_{x}(0,0)[/mm] berchnen, dies gibt aber
> [mm]\bruch{0}{0},[/mm]
Ist das so?
Wie ist denn die partielle Ableitung in einem Punkt definiert?
Darauf musst du schon zurückgreifen ...
Da wird 0 rauskommen, wenn ich das auf die Schnelle richtig sehe!
> was ja undefiniert ist!!
> Wie kann ich dies also berechnen??
>
> 2) Stetigkeit
> Klar.
Aha!?
>
> Könnte mir jemand helfen??
>
> Liebe Grüsse
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus
> Hallo Babybel73,
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> > Hallo zusammen.
> >
> > Aufgabe:
> > Ist [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}*y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\
0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}diffbar?[/mm]
>
> >
> > Ich möchte obige Aufgabe mit folgendem Kriterium lösen:
> >
> > Kriterium:
> > Ist f in einer Umgebung des Punktes a nach allen
> Variablen
> > partiell diffbar und sind die partiellen Ableitungen stetig
> > bei a, so ist f bei a diffbar. [mm](a=(a_{1},....,a_{n})[/mm]
> >
> > Meine Lösung:
> > Für [mm](x,y)\not=(0,0):[/mm] Komp. diffbarer Fkt. [mm]\Rightarrow[/mm]
> diffbar
> >
> > Für (x,y)=(0,0):
> > 1) partielle Ableitung bei (0,0)
> > Wegen der Symmetrie in x und y reicht es nur [mm]f_{x}[/mm] zu
> > untersuchen.
> > Ausserhalb von (0,0) ist
> >
> >
> [mm]f_{x}=\bruch{2*x*y^{2}*(x^{2}+y^{2})-x^{2}*y^{2}*2*x}{(x^{2}+y^{2})^2}[/mm]
>
>
> Fasse noch zusammen!
>
> > Nun muss ich ja [mm]f_{x}(0,0)[/mm] berchnen, dies gibt aber
> > [mm]\bruch{0}{0},[/mm]
>
> Ist das so?
>
> Wie ist denn die partielle Ableitung in einem Punkt
> definiert?
>
> Darauf musst du schon zurückgreifen ...
>
> Da wird 0 rauskommen, wenn ich das auf die Schnelle richtig
> sehe!
Ja da kommt auch 0 raus, aber ich weiss nicht wieso!
Die partielle Ableitung in einem Punkt ist doch definiert als:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f((a+h),a)-f(a,a)}{h}
[/mm]
Das wäre ja in meinem Beispiel:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f_{x}((0+h),0)-f_{x}(0,0)}{h}
[/mm]
Aber das bringt mich ja auch nicht weiter, da ich schon wieder ein [mm] f_{x}(0,0) [/mm] habe!? :(
>
>
> > was ja undefiniert ist!!
> > Wie kann ich dies also berechnen??
> >
> > 2) Stetigkeit
> > Klar.
>
> Aha!?
Ja... 
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> >
> > Könnte mir jemand helfen??
> >
> > Liebe Grüsse
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
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> Ja da kommt auch 0 raus, aber ich weiss nicht wieso!
> Die partielle Ableitung in einem Punkt ist doch definiert
> als:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f((a+h),a)-f(a,a)}{h}[/mm]
>
> Das wäre ja in meinem Beispiel:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f_{x}((0+h),0)-f_{x}(0,0)}{h}[/mm]
Nein, nicht [mm] $f_x$, [/mm] sondern $f$
Berechne [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
[/mm]
>
> Aber das bringt mich ja auch nicht weiter, da ich schon
> wieder ein [mm]f_{x}(0,0)[/mm] habe!? :(
>
> >
> >
> > > was ja undefiniert ist!!
> > > Wie kann ich dies also berechnen??
> > >
> > > 2) Stetigkeit
> > > Klar.
> >
> > Aha!?
>
> Ja...
Die partiellen Ableitungen sind also stetig ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo
> Hallo nochmal,
>
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> >
> > Ja da kommt auch 0 raus, aber ich weiss nicht wieso!
> > Die partielle Ableitung in einem Punkt ist doch
> definiert
> > als:
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f((a+h),a)-f(a,a)}{h}[/mm]
>
> >
> > Das wäre ja in meinem Beispiel:
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f_{x}((0+h),0)-f_{x}(0,0)}{h}[/mm]
>
> Nein, nicht [mm]f_x[/mm], sondern [mm]f[/mm]
>
> Berechne [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
Aha, ja klar, habe mich im Kriterium verlesen! Dann wäre es ja:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{0-0}{h}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist partiell diffbar bei (0,0).
Könnte ich dies auch so untersuchen, dass ich sage, untersuche zuerst den Grenzwert von (x,0) und dann den Grenzwert von (0,y)?
> >
> > Aber das bringt mich ja auch nicht weiter, da ich schon
> > wieder ein [mm]f_{x}(0,0)[/mm] habe!? :(
> >
> > >
> > >
> > > > was ja undefiniert ist!!
> > > > Wie kann ich dies also berechnen??
> > > >
> > > > 2) Stetigkeit
> > > > Klar.
> > >
> > > Aha!?
> >
> > Ja...
>
> Die partiellen Ableitungen sind also stetig ...
>
Ja die partiellen Ableitungen sind stetig und somit ist f diffbar!
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > >
> > > Ja da kommt auch 0 raus, aber ich weiss nicht wieso!
> > > Die partielle Ableitung in einem Punkt ist doch
> > definiert
> > > als:
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(a)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f((a+h),a)-f(a,a)}{h}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das wäre ja in meinem Beispiel:
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0)=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{f_{x}((0+h),0)-f_{x}(0,0)}{h}[/mm]
> >
> > Nein, nicht [mm]f_x[/mm], sondern [mm]f[/mm]
> >
> > Berechne [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm]
> >
> Aha, ja klar, habe mich im Kriterium verlesen! Dann wäre
> es ja:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{0-0}{h}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f
> ist partiell diffbar bei (0,0).
>
> Könnte ich dies auch so untersuchen, dass ich sage,
> untersuche zuerst den Grenzwert von (x,0) und dann den
> Grenzwert von (0,y)?
Nein
FRED
>
> > >
> > > Aber das bringt mich ja auch nicht weiter, da ich schon
> > > wieder ein [mm]f_{x}(0,0)[/mm] habe!? :(
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > was ja undefiniert ist!!
> > > > > Wie kann ich dies also berechnen??
> > > > >
> > > > > 2) Stetigkeit
> > > > > Klar.
> > > >
> > > > Aha!?
> > >
> > > Ja...
> >
> > Die partiellen Ableitungen sind also stetig ...
> >
> Ja die partiellen Ableitungen sind stetig und somit ist f
> diffbar!
> >
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
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