www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Diffbarkeit komplexer Exponent
Diffbarkeit komplexer Exponent < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diffbarkeit komplexer Exponent: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Sa 14.01.2012
Autor: kullinarisch

Aufgabe
Sei z [mm] \in [/mm] C, und sei f : R [mm] \to \IC [/mm] de finiert durch f(x) := 0 für x [mm] \le [/mm] 0 und f(x) := [mm] x^{z} [/mm] für
x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 di erenzierbar, wenn Re z > 1 gilt.

Hallo! Zu zeigen ist ja: f in [mm] x_0 [/mm] diffbar [mm] \gdw [/mm] Re(z) > 1. Also 2 Richtungen.

[mm] "\Rightarrow" [/mm]

Ang. f ist diffbar [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm]

Sei z =: a + ib

[mm] \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] =  [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{0 - 0}{x} [/mm] = 0

[mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{z}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a+ib}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a}x^{ib}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib} [/mm]

Damit

[mm] \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm]

muss a > 1 sein. Wie ich das zeigen kann weiß ich aber nicht. Ich weiß nur, dass der Limes für a > 1 gleich 0 ist. Für a < 1 vermute ich, dass er es nicht ist. Wie kann man das zeigen?

Zur Rückrichtung: Muss ich mit der Annahme Re z > 1 einfach nur zeigen, dass der rechtsseitige Limes gleich dem linksseitigem Limes ist?

Grüße, Kulli

        
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Sa 14.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei z [mm]\in[/mm] C, und sei f : R [mm]\to \IC[/mm] de finiert durch f(x) :=
> 0 für x [mm]\le[/mm] 0 und f(x) := [mm]x^{z}[/mm] für
>  x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 di erenzierbar,

> wenn Re z > 1 gilt.
>  Hallo! Zu zeigen ist ja: f in [mm]x_0[/mm] diffbar [mm]\gdw[/mm] Re(z) > 1.

> Also 2 Richtungen.
>  
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>  
> Ang. f ist diffbar [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
>  
> Sei z =: a + ib
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =  
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{0 - 0}{x}[/mm] = 0
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{z}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a+ib}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a}x^{ib}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}[/mm]
>
> Damit
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
>  
> muss a > 1 sein. Wie ich das zeigen kann weiß ich aber
> nicht. Ich weiß nur, dass der Limes für a > 1 gleich 0
> ist. Für a < 1 vermute ich, dass er es nicht ist. Wie kann
> man das zeigen?

für jedes $b [mm] \in \IR$ [/mm] und $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt doch [mm] $x^{ib}=\exp(i*b*\ln(x))\,.$ [/mm] Da steht also die Eulersche Formel, so dass Du erkennst
[mm] $$|x^{ib}|=1$$ [/mm]
für alle $x > [mm] 0\,.$ [/mm] (Damit auch [mm] $\lim_{x \to +0}|x^{ib}|=\lim_{x \to +0}1=1\,.$) [/mm]

Beachte dabei: Für jedes $x > [mm] 0\,$ [/mm] und $b [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $b*\ln(x) \in \IR\,.$ [/mm]

Und Deine obigen Überlegungen zeigen doch, dass, falls [mm] $f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $0\,$ [/mm] differenzierbar ist, dann auch
[mm] $$\lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}|$$ [/mm]
existieren und [mm] $=0\,$ [/mm] sein muss. Wegen [mm] $|x^{ib}|=1$ [/mm] (für alle $x > [mm] 0\,$) [/mm] ist das gleichbedeutend damit, dass
[mm] $$\lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0$$ [/mm]
gelten muss, also da bei der Grenzwertbetrachtung ja stets $x > [mm] 0\,$ [/mm] ist (oder, je nach Eurer Definition, man jedenfalls o.E. $x > [mm] 0\,$ [/mm] annehmen kann), dass
[mm] $$g:=\lim_{x \to+0} x^{a-1}=0\,.$$ [/mm]

Im Fall $a > [mm] 1\,$ [/mm] kann man zeigen, dass das dann passt (denn man kann bei $x [mm] \to [/mm] +0$ o.E. $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] annehmen).
Im Falle $a < [mm] 1\,$ [/mm] ist für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] x_n [/mm] < [mm] 1\$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ die Folge [mm] $(y_n)_n\,,$ [/mm] definiert durch [mm] $y_n:=(x_n)^{a-1}\,,$ [/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das dann für [mm] $\lim_{x \to +0} x^{a-1}$? [/mm]

Und dass im Fall $a=1$ sicher  
[mm] $$\lim_{x \to+0} x^{a-1}=1 \not=0$$ [/mm]
gilt, ist klar, da für jedes $x > [mm] 0\,$ [/mm] doch [mm] $x^0=1$ [/mm] gilt.

Und zur Rückrichtung:
Überlege Dir:
Es gilt nicht nur, dass, falls [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar ist, so folgt
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ [/mm]
(wobei die Symbolik hier die Existenz der beiden Grenzwerte mitbeinhalten soll), sondern es gilt doch sogar:
Genau dann ist [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\,.$$ [/mm]
Es gilt hier sowieso
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=0\,,$$ [/mm]
(d.h. dieser linksseitige Grenzwert existiert und hat den Wert [mm] $0\,$) [/mm]
daher ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn der entsprechende rechtsseitige Grenzwert existiert und den Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat, also wenn:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=0$$ [/mm]
gilt. Wenn Du also oben bei Dir guckst, wann und wo es angebracht wäre, anstatt "nur" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] sogar [mm] $\gdw$ [/mm] zu schreiben (d.h., man kann auch in die andere Richtung folgern, bzw. besser gesagt: die Folgerung in die andere Richtung klappt auch), siehst Du, dass Du da eigentlich auch nichts neues mehr machen muss.

Fazit: [mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,.$$ [/mm]

Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn $a > [mm] 1\,,$ [/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben nachlesen.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 14.01.2012
Autor: kullinarisch

Sehr hilfreicher Post, danke!

Damit ich das wirklich richtig verstanden habe:

Wenn ich für a > 1 gezeigt habe, dass der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib} [/mm] existiert, dann darf ich für weitere Überlegungen des Grenzwertes für ein a den Betrag [mm] \lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}| [/mm] und daraus gefolgert [mm] \lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0 [/mm] benutzen? Das ist wirklich gut, darauf wäre ich nicht gekommen!


Im Falle  a < [mm] 1\, [/mm]  ist für jede Folge  [mm] (x_n)_n [/mm] mit  0 < [mm] x_n [/mm] < 1\  mit  [mm] x_n \to [/mm] 0 die Folge [mm] (y_n)_n\,, [/mm]  definiert durch [mm] y_n:=(x_n)^{a-1}\,, [/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das dann für [mm] \lim_{x \to +0} x^{a-1}? [/mm]

naja für a-1 = -p < 0 ist dann [mm] \lim_{x \to +0} x^{a-1} [/mm] =  [mm] \lim_{x \to +0} \bruch{1}{x^{p}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] also ein uneigentlicher GW.


Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn a > [mm] 1\,, [/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben nachlesen.

Ich würde das mit Substitution machen, so haben wir es vor kurzem auch gehandhabt.
Also:
für a > 1 sei a - 1 := p [mm] \in \IR_{+} [/mm]

[mm] \lim_{x \to +0}x^{p} [/mm]

= [mm] \lim_{x \to +0} e^{p log x} [/mm]

= [mm] \lim_{y \to \infty} e^{p (-y)} [/mm]

[mm] \lim_{y \to \infty} \bruch{1}{e^{p y}} [/mm] = 0

Mfg, kulli


Bezug
                        
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Sa 14.01.2012
Autor: leduart

Hallo
dass [mm] x^p, [/mm] p>0 für x =0 0 ist muss man doch nicht zeigen? [mm] 0^p=0. [/mm]
für p<0 erstze p durch q=-p>0 und [mm] x^p [/mm] durch [mm] 1/x^q [/mm] mit [mm] x^q [/mm] gegen 0
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Sa 14.01.2012
Autor: kullinarisch

Ja im Prinzip hast du natürlich recht. Nur sollten wir auf dem letzten Übungsblatt gerade solche Grenzwerte auf "bekannte" grenzwerte zurückführen, d.h. immer auf e hoch irgendwas.. Aber ich werde das jetzt lassen, ist wirklich Quatsch :-)  

Bezug
                                        
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Sa 14.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Ja im Prinzip hast du natürlich recht.

hat er nicht. Was bringt Dir das Wissen [mm] $0^p=0$ [/mm] für $p > [mm] 0\,$ [/mm] fest, wenn Du aber
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^p=\lim_{0 < x \to 0}x^p=0$$ [/mm]
zeigen sollst? Dafür musst Du begründen, dass die Funktion
$$x [mm] \mapsto x^p$$ [/mm]
für $x [mm] \ge [/mm] 0$ (rechts-)stetig an [mm] $0\,$ [/mm] ist. Das ist nur eine Umformulierung dessen, was Du zeigen sollst. Die Begründung klappt, indem Du sagst: Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig und dann [mm] $\lim_{y \to -\infty }\exp(y)=0$ [/mm] ausnutzt!

> Nur sollten wir auf
> dem letzten Übungsblatt gerade solche Grenzwerte auf
> "bekannte" grenzwerte zurückführen, d.h. immer auf e hoch
> irgendwas.. Aber ich werde das jetzt lassen, ist wirklich
> Quatsch :-)  

Ist es nicht. Sicher sind's Situationen ähnlich wie oben.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: 0^p=0 alleine reicht NICHT
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Sa 14.01.2012
Autor: Marcel

Hallo Leduart,

> Hallo
>  dass [mm]x^p,[/mm] p>0 für x =0 0 ist muss man doch nicht zeigen?
> [mm]0^p=0.[/mm]

darum geht's nicht, sondern eigentlich um den Nachweis, dass
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^p=0$$ [/mm]
ist. Dafür reicht die Erkenntnis [mm] $0^p=0$ [/mm] ($p > [mm] 0\,$ [/mm] fest) alleine nicht aus. Sondern, wenn man das benutzen will, muss man dann auch noch die Stetigkeit der Funktion
$$x [mm] \mapsto x^p$$ [/mm]
für $x [mm] \ge [/mm] 0$ an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] benutzen. Diese ergibt sich, da [mm] $x^p=\exp(p*\ln(x))$ [/mm] für $x > [mm] 0\,$ [/mm] geschrieben werden kann und [mm] $\exp(y) \to [/mm] 0$ für $y [mm] \to -\infty\,.$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                        
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Sa 14.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Sehr hilfreicher Post, danke!
>  
> Damit ich das wirklich richtig verstanden habe:
>  
> Wenn ich für a > 1 gezeigt habe, dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}[/mm] existiert, dann
> darf ich für weitere Überlegungen des Grenzwertes für
> ein a den Betrag [mm]\lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}|[/mm] und daraus
> gefolgert [mm]\lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0[/mm] benutzen? Das ist
> wirklich gut, darauf wäre ich nicht gekommen!

da verstehe ich Deine Überlegungen nicht. Okay, betrachten wir zunächst mal den Fall $a > [mm] 1\,:$ [/mm]
Dann gilt
[mm] $$(\star)\;\;\;\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}=0\,,$$ [/mm]
denn hier gilt
[mm] $$(\star_2)\;\;\;\limes_{x\rightarrow\ +0} |x^{a - 1}x^{ib}|=\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}=0\,.$$ [/mm]  

Letzteres, also [mm] $(\star_2)\,,$ [/mm] beweist [mm] $(\star)\,,$ [/mm] denn die Betragsfunktion $z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ ist auch auf [mm] $\IC$ [/mm] stetig, insbesondere an der Stelle [mm] $0\,.$ [/mm] Außerdem benutzt man nach dem ersten Gleichheitszeichen von [mm] $(\star_2)$ [/mm] die in [mm] $\IC$ [/mm] bekannte Rechenregel $|w*z|=|w|*|z|$ und die wegen der Eulerschen Formel bekannte Erkenntnis [mm] $|e^{i*\phi}|=|\cos(\phi)+i*\sin(\phi)|=\sqrt{\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)}=1$ [/mm] für alle reellen [mm] $\phi\,.$ [/mm]


> Im Falle  a < [mm]1\,[/mm]  ist für jede Folge  [mm](x_n)_n[/mm] mit  0 <
> [mm]x_n[/mm] < 1\  mit  [mm]x_n \to[/mm] 0 die Folge [mm](y_n)_n\,,[/mm]  definiert
> durch [mm]y_n:=(x_n)^{a-1}\,,[/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das
> dann für [mm]\lim_{x \to +0} x^{a-1}?[/mm]
>  
> naja für a-1 = -p < 0 ist dann [mm]\lim_{x \to +0} x^{a-1}[/mm] =  
> [mm]\lim_{x \to +0} \bruch{1}{x^{p}}[/mm] = [mm]\infty[/mm] also ein
> uneigentlicher GW.

Noch viel einfacher: Unbeschränkte Folgen können (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht konvergieren. Daher kann [mm] $(y_n)_n$ [/mm] nicht konvergieren (damit natürlich auch nicht gegen [mm] $0\,$), [/mm] also existiert [mm] $\lim_{x \to +0}(1/x^p)$ [/mm] für $p > [mm] 0\,$ [/mm] nicht. Hier würde Dir die Erkenntnis, dass [mm] $0^p=0$ [/mm] ist, auch nicht viel bringen. Denn es geht nicht um [mm] "$1/0^p$", [/mm] sondern bei [mm] $1/x^p$ [/mm] ist $0 < x [mm] \to 0\,.$ [/mm] D.h. es ist hier nicht von Bedeutung, dass [mm] $1/0^p$ [/mm] nicht definiert wäre - das ist vollkommen egal.

>
> Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn a >
> [mm]1\,,[/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben
> nachlesen.
>  
> Ich würde das mit Substitution machen, so haben wir es vor
> kurzem auch gehandhabt.
>  Also:
> für a > 1 sei a - 1 := p [mm]\in \IR_{+}[/mm]
>  
> [mm]\lim_{x \to +0}x^{p}[/mm]
>  
> = [mm]\lim_{x \to +0} e^{p log x}[/mm]
>  
> = [mm]\lim_{y \to \infty} e^{p (-y)}[/mm]
>  
> [mm]\lim_{y \to \infty} \bruch{1}{e^{p y}}[/mm] = 0
>  
> Mfg, kulli

Das ist okay. Jetzt hast Du so aber wirklich erstmal nur gezeigt, dass
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0$$ [/mm]
ist, wenn $a > [mm] 1\,.$ [/mm]

Die Fälle [mm] $a=1\,$ [/mm] und $a < [mm] 1\,$ [/mm] musst Du dann ja auch noch behandeln. Da steht ja:
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0$$ [/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] a > [mm] 1\,.$$ [/mm]

D.h. es ist zu zeigen:
1.) Aus $a > [mm] 1\,$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,.$ [/mm]

2.) Wenn [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,,$ [/mm] dann muss $a > [mm] 1\,$ [/mm] sein.

2.) hast Du noch nicht behandelt. Aber das ist einfach, weil das wegen Kontraposition äquivalent formuliert werden kann als
2'.) Wenn $a [mm] \le 1\,,$ [/mm] dann ist a) [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}\not=0$ [/mm] oder b) [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}$ [/mm] existiert nicht.

Und präziser: 2.') a) folgt genau für [mm] $a=1\,,$ [/mm] und 2.' b) wirst Du für $a < 1$ nachweisen können. Und das habe ich eigentlich auch schon oben stehen!

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Diffbarkeit komplexer Exponent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Di 17.01.2012
Autor: kullinarisch

Wow solche detailierten Erklärungen sind nicht mal bei meinem Übungsleiter anzutreffen!! Die restlichen Zweifel haben sich in Luft aufgelöst!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de