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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2\setminus\{0\} \to \IR^2\setminus\{0\} [/mm] definiert durch [mm] f(x)=\vektor{x_{1}^{2}-x_2^2 \\ 2x_1x_2} [/mm] und sei y= [mm] \vektor{-1\\0}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass y genau zwei Urbilder [mm] \overline{x} [/mm] ,x' unter f besitzt, und dass es Umgebungen [mm] \overline{U} [/mm] von [mm] \overline{x}, [/mm] U' von x' und V von y gibt, mit
[mm] f|_{\overline{U}} \in Diff(\overline{U},V) [/mm] und [mm] f|_{U'} \in [/mm] Diff(U',V).
Berechnen Sie [mm] J_{(f|_{U'})^{-1}}(y). [/mm] |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter.
Zu zeigen, dass es genau zwei Urbilder gibt, nämlich [mm] \vektor{0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\-1}, [/mm] bekomme ich ja noch hin, aber dann....
Ich habe es mit dem Satz über lokale Diffeomorphie (Satz der inversen Funktion) versucht, aber dann bekomme ich ja nicht nur eine Umgebung V von y, sondern eine Umgebung [mm] \overline{V} [/mm] von y für [mm] \vektor{0\\1} [/mm] und eine Umgebung V' von y für [mm] \vektor{0\\-1} [/mm] in die meine Diffeomorphen Funktionen dann abbilden.
Wie kann ich zeigen, dass das beides mal das gleiche V ist?
Oder muss ich mir irgendwie die Umgebungen [mm] \overline{U} [/mm] und U' konkret basteln? Wenn ja, wie ist da der Ansatz?
(Ich habe mir noch überlegt, dass f ja der Abbildung [mm] \IC\setminus\{0\} \to \IC\setminus\{0\} [/mm] , [mm] z\mapsto z^2 [/mm] entspricht, bringt mich aber auch nicht weiter.)
Grüße Ned.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 25.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich zeigen, dass das beides mal das gleiche V
> ist?
Das ist es nicht, aber betrachte doch mal [m]\overline{V}\cap V'[/m] - und verkleinere die beiden Urbildmengen entsprechend! Dann steht es da.
SEcki
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Hi Secki,
vielen Dank für deine Antwort.
> betrachte doch mal [m]\overline{V}\cap V'[/m]
> - und verkleinere die beiden Urbildmengen entsprechend!
> Dann steht es da.
Ok, das habe ich vom Prinzip her verstanden, aber woher weiß ich denn, dass [m]\overline{V}\cap V'[/m] [mm] \not=\{y\} [/mm] ist?
Also dass [mm] \overline{V}\cap [/mm] V' wirklich eine Umgebung von y ist?
Kann ich das irgendwie zeigen oder muss man sich in diesem konkreten Beispiel doch die Mengen konkret hinschreiben?
Wenn ja, wie?
Ah, ich glaube ich habe die Lösung jetzt. Das [mm] y\in \overline{V}\cap [/mm] V' ist , ist ja klar.
Da [mm] \overline{V} [/mm] und V' beides offene Umgebungen von y sind muss der Schnitt auch wieder offen sein. Deshalb ist [mm] \overline{V}\cap [/mm] V' eine offene Umgebung von y. Richtig so?
Grüßs Ned.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 26.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ah, ich glaube ich habe die Lösung jetzt. Das [mm]y\in \overline{V}\cap[/mm]
> V' ist , ist ja klar.
> Da [mm]\overline{V}[/mm] und V' beides offene Umgebungen von y sind
> muss der Schnitt auch wieder offen sein. Deshalb ist
> [mm]\overline{V}\cap[/mm] V' eine offene Umgebung von y. Richtig
> so?
Genau.
SEcki
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