Diffeomorphismus Einheitskugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Matts |
| Aufgabe | | Geben sie einen Diffeomorphismus zwischen den beiden Flächen $S = [mm] \{(x,y,z)\in \IR^3 : x^2+y^2+z^2 =1, -1 |
Nun ich habe mir beide Flächen skizziert. S ist die Einheitskugel und H ist ein einschaliges Hyperboloid. Dass die beiden Flächen zueinander diffeomorph sind, kann ich mir gut vorstellen. Der Schnitt mit der x-y-Ebene (z=0) ist für beide Flächen ein Kreis mit Radius 1, welcher unter der Abbildung (gesuchter Diffeomorphismus) [mm] $\phi: [/mm] S [mm] \rightarrow [/mm] H$ bzw. $ [mm] \phi^{-1}:H \rightarrow [/mm] S$ nicht verhänder wird. Wird nun die EInheitskugel auf das einschalige Hyperboloid abgebildet, wird die obere, bzw. die untere Halbkugel "auseinandergerissen".
Mit der Definition eines Diffeomorphismuses komme ich leider auch nicht weiter, da ich nicht weiss, wie sich eine Funktion [mm] $\phi$ [/mm] finden lässt, so dass sie bijektiv ist und sowohl [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] stetig differenzierbar sind.
Vielen Dank, Matts
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Di 26.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Geben sie einen Diffeomorphismus zwischen den beiden
> Flächen [mm]S = \{(x,y,z)\in \IR^3 : x^2+y^2+z^2 =1, -1
> und [mm]H = {(x,y,z)\in \IR^3 : x^2+y^2 - z^2 =1\ }\subset\IR^3[/mm]
> an.
> Nun ich habe mir beide Flächen skizziert. S ist die
> Einheitskugel und H ist ein einschaliges Hyperboloid. Dass
> die beiden Flächen zueinander diffeomorph sind, kann ich
> mir gut vorstellen. Der Schnitt mit der x-y-Ebene (z=0) ist
> für beide Flächen ein Kreis mit Radius 1, welcher unter
> der Abbildung (gesuchter Diffeomorphismus) [mm]\phi: S \rightarrow H[/mm]
> bzw. [mm]\phi^{-1}:H \rightarrow S[/mm] nicht verhänder wird. Wird
> nun die EInheitskugel auf das einschalige Hyperboloid
> abgebildet, wird die obere, bzw. die untere Halbkugel
> "auseinandergerissen".
> Mit der Definition eines Diffeomorphismuses komme ich
> leider auch nicht weiter, da ich nicht weiss, wie sich eine
> Funktion [mm]\phi[/mm] finden lässt, so dass sie bijektiv ist und
> sowohl [mm]\phi[/mm] und [mm]\phi^{-1}[/mm] stetig differenzierbar sind.
>
Hallo Matts,
die Menge S ist die Oberfläche der Einheitskugel ohne die Pole (0, 0, -1) und (0, 0, 1). Die Menge H schneidet die x-z-Ebene in den beiden (!) Ästen der Hyperbel [mm] $x^2- z^2 [/mm] = [mm] 1\,.$ [/mm] Du erhältst H, indem Du einen der Hyperbeläste um die z-Achse rotierst.
Baue Dir zunächst einen Diffeomorphismus vom Einheitskreis (ohne Pole) und der Hyperbel. Dies scheint einfacher und mag helfen, die Aufgabe zu lösen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 26.03.2013 | | Autor: | Matts |
Danke Wolfgang für deine Antwort und deine Ergänzungen zu meinen Überlegungen. Je mehr ich mich mit der Aufgabe beschäftige, desto verwirrter werde ich. Ich versuche mitlerweilen die vereinfachte Variante (Einheitskreis ohne die Pole diffeomorph zur Hyperbel). Doch so blöd es klingen mag, ich weiss bei bestem Willen nicht, WIE ich eine solche Funktionen finden soll.
Gruss, Matts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 26.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
parametrisiere die eine Hälfte des Kreises : x(t) = cos (t) , z(t) = sin (t) , $ [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] < t < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $ ,
bilde das Intervall $ [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] < t < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $ bijektiv auf das Intervall [mm] $-\infty [/mm] < t' < [mm] \infty [/mm] $ ab,
benutze die Parameterdarstellung x'(t') = cosh (t') , z'(t') = sinh (t') um einen Zweig der Hyperbel zu erhalten,
analog für den anderen Teil.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 26.03.2013 | | Autor: | Matts |
Danke für deine Hilfestellung.
$ tan : [mm] (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \rightarrow \IR [/mm] $
$ [mm] tan^{-1} [/mm] : [mm] \IR \rightarrow (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) [/mm] $
Also ist der Tagens eine Funktion, welche das gewünschte Intervall bijektiv abbildet.
Nun wird zum Beispiel x(0) = cos(0) = 1 auf x'(tan(0)) = cosh(tan(0)) = 1 abgebildet.
Also bekomme ich mit ( cosh(tan(t)), sinh(tan(t)) ) die Werte des einten Zweigs der Hyperbel, für alle t der Parametrisierung des Kreises?
Gruss, Matts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Danke für deine Hilfestellung.
>
> [mm]tan : (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \rightarrow \IR[/mm]
>
> [mm]tan^{-1} : \IR \rightarrow (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/mm]
>
> Also ist der Tagens eine Funktion, welche das gewünschte
> Intervall bijektiv abbildet.
>
> Nun wird zum Beispiel x(0) = cos(0) = 1 auf x'(tan(0)) =
> cosh(tan(0)) = 1 abgebildet.
> Also bekomme ich mit ( cosh(tan(t)), sinh(tan(t)) ) die
> Werte des einten Zweigs der Hyperbel, für alle t der
> Parametrisierung des Kreises?
Mit [mm] $\tan [/mm] t= {z [mm] \over [/mm] x}$ erhältst Du einen Diffeomorphismus
$(x, [mm] z)\mapsto \left({ x \over |x|}\cosh {z \over |x|},\; \sinh {z\over |x|}\right)$
[/mm]
vom Einheitskreis ohne Pole auf beide Hyperbeläste.
Gruß,
Wolfgang
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