Differentation Beispiel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Differenzieren Sie nach der angegebenen Variable. |
Hallo,
Ich möchte euch fagen ob folgender Ansatz dieses Differentationbeispieles korrekt ist:
http://img38.imageshack.us/img38/1246/scannen0006j.jpg
Mfg
Tsetesefliege
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Kontrolle-eines-Differentialbeispieles
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Hallo!
Die Lösung scheitert bereits zu Beginn am 2. Binom. Überprüfe noch einmal die Umwandlung der Wurzel- in die Potenzschreibweise.
Gruß, Marcel
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Die 3.te Wurzel aus [mm] \wurzel{2x} [/mm] = 2x^(1/3) und wenn ich diesen Ausdruck *2 nehme komme ich auf 4x^(1/3)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tstetsefliege,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Umformung stimmt nicht, da der Exponent [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] sich auch gleichzeitig auf den Faktor $2_$ bezieht:
[mm] $$\wurzel[3]{2*x} [/mm] \ = \ [mm] (2*x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{\bruch{1}{3}}*x^{\bruch{1}{3}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Bitte tippe die Aufgaben in Zukunft hier direkt ein und nicht einfach per Scan einfügen. So wälzt Du die Schreibarbeit auf die Helfenden ab.
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Aja, habe ich leider übersehen. Ich habe es als Scan geschickt, da ich mit dieser Schreibweise noch nicht so vertraut bin. In der nächsten Zeile müsste dann folgendes stehen:
[mm] \bruch{(1-2*(2*x)^{1/3}+(2x)^{2/3}}{x^{3/2}}
[/mm]
Nun kommen wir zu der Quotientenregel:
[mm] \bruch{1-(2*(1/3)*2x^{-3/2})*(2x)^{2/3}-(2*(2x)^{1/3}*((2/3)*2x^{-1/3}}{x^{3}}
[/mm]
Oder habe ich etwas falsch umgeformt?
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> Aja, habe ich leider übersehen. Ich habe es als Scan
> geschickt, da ich mit dieser Schreibweise noch nicht so
> vertraut bin. In der nächsten Zeile müsste dann folgendes
> stehen:
>
> h(x)=[mm]\bruch{(1-2*(2*x)^{1/3}+(2x)^{2/3}}{x^{3/2}}[/mm]
>
> Nun kommen wir zu der Quotientenregel:
Hallo,
.
Die Quotientenregel lautet
[mm] (\bruch{f}{g})'=\bruch{gf'- fg'}{g^2}.
[/mm]
Du mußt also rechnen
[mm] h'(x)=\bruch{x^{3/2}*(1-2*(2*x)^{1/3}+(2x)^{2/3})' - (1-2*(2*x)^{1/3}+(2x)^{2/3})*(x^{3/2})'}{(x^{3/2})^2}
[/mm]
Hast Du das getan?
Auf den ersten Blick sieht Dein Ergebnis anders aus.
Rechne ggf. schrittweise vor, damit wir Deinen Weg verfolgen können.
> [mm]\bruch{1-(2*(1/3)*2x^{-3/2})*(2x)^{2/3}-(2*(2x)^{1/3}*((2/3)*2x^{-1/3}}{x^{3}}[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Oder habe ich etwas falsch umgeformt?
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$ [mm] h'(x)=\bruch{x^{3/2}\cdot{}(1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})' - (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})\cdot{}(x^{3/2})'}{(x^{3/2})^2} [/mm] $
= [mm] \bruch{x^{3/2}*(1-\bruch{4}{3x^{2/3}}+\bruch{4}{3x^{1/3}})-((2x)^{2/3}-2*(2x)^{1/3}+1)*(2/(x^{1/3})}{x^{3}}
[/mm]
Du hast ja weiter unten folgenden Ansatz geschrieben:
$ [mm] \bruch{1-(2\cdot{}(1/3)\cdot{}2x^{-3/2})\cdot{}(2x)^{2/3}-(2\cdot{}(2x)^{1/3}\cdot{}((2/3)\cdot{}2x^{-1/3}}{x^{3}} [/mm] $
Aber wo ist hier das [mm] x^{3/2} [/mm] geblieben und wieso hast du nicht die Ableitung von [mm] (2x)^{2/3} [/mm] geschrieben?
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>
> [mm]h'(x)=\bruch{x^{3/2}\cdot{}(1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})' - (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})\cdot{}(x^{3/2})'}{(x^{3/2})^2}[/mm]
Hallo,
irgendwie müssen wir's mal geordnet angehen.
Gesucht ist [mm] (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})'
[/mm]
Du mußt hierfür die Ableitungen von 1 und [mm] 2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3} [/mm] und [mm] (2x)^{2/3} [/mm] berechnen.
Sie lauten? Schreib sie einzeln auf.
(Eventuell gelingt es Dir besser, wenn Du Dir klarmachst, daß [mm] (2\cdot{}x)^{1/3}=2^{1/3}\cdot{}x^{1/3}.
[/mm]
Also ist [mm] (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})'= [/mm] ???
Weiter wird die Ableitung von [mm] x^{3/2} [/mm] benötigt.
[mm] (x^{3/2})'= [/mm] ???
Die Potenzregel kannst Du? Sie lautet?
> Du hast ja weiter unten folgenden Ansatz geschrieben:
Nein, dies war zitiert aus Deinem Beitrag, also das, was Du als Ergebnis verkaufen wolltest.
>
> [mm]\bruch{1-(2\cdot{}(1/3)\cdot{}2x^{-3/2})\cdot{}(2x)^{2/3}-(2\cdot{}(2x)^{1/3}\cdot{}((2/3)\cdot{}2x^{-1/3}}{x^{3}}[/mm]
>
> Aber wo ist hier das [mm]x^{3/2}[/mm] geblieben und wieso hast du
> nicht die Ableitung von [mm](2x)^{2/3}[/mm] geschrieben?
Du warst's!
Gruß v. Angela
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Ok, 1' = 1.
Die Ableitung von $ [mm] 2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3} [/mm] $ = [mm] \bruch{2^{1/3}}{9*x^{2/3}}
[/mm]
[mm] (x^{3/2})' [/mm] = [mm] \bruch{3}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] ((2x)^{2/3})' [/mm] = [mm] \bruch{2^{1/3}}{3x^{2/3}}
[/mm]
Die Potenzregel lautet: f(x) = g(x) * h(x) = f'(x) = g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)
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> Ok, 1' = 1.
Hallo,
nein.
Wie sieht der Graph der Funktion [mm] f_1(x)=1 [/mm] aus? Steigung? Also?
>
> Die Ableitung von [mm]2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{1/3}}{9*x^{2/3}}[/mm]
Nein.
Es ist [mm] f_2(x)=2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}=2*2^{1/3}*x^{1/3}, [/mm] und damit ergibt sich mit der Potenzregel
[mm] f_2'(x)=2*2^{1/3}*\bruch{1}{3}x^{-2/3}=\bruch{2*2^{1/3}}{3x^{2/3}}
[/mm]
>
> [mm](x^{3/2})'[/mm] = [mm]\bruch{3}{2*\wurzel{x}}[/mm]
Richtig.
>
> [mm]((2x)^{2/3})'[/mm] = [mm]\bruch{2^{1/3}}{3x^{2/3}}[/mm]
Nein. Entweder arbeitest Du mit der Kettenregel: [mm] (2x)^{2/3})'= \bruch{2}{3}*(2x)^{-1/3}*2= [/mm] ...,
oder Du schreibst [mm] f_3(x)=(2x)^{2/3})=2^{2/3}*x^{2/3}, [/mm] woraus Du mit der Potenzregel bekommst
[mm] f_3(x)=2^{2/3}*\bruch{2}{3}*x^{-1/3}= [/mm] ...
>
> Die Potenzregel lautet: f(x) = g(x) * h(x) [mm] \red{==>} [/mm] f'(x) = g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)
Das ist die Produktregel...
Ich meinte dies: [mm] h(x)=x^n, [/mm] dann ist [mm] h'(x)=n*x^{n-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Dein Profil enthält Ungereimtheiten. Bring das mal in Ordnung.
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Erstmals vielen Dank für deine Hilfe. Ich glaube ich komme jetzt schon langsam zum Ende: 1' = 0
$ [mm] h'(x)=\bruch{x^{3/2}\cdot{}(1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})' - (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})\cdot{}(x^{3/2})'}{(x^{3/2})^2} [/mm] $
= [mm] \bruch{x^{3/2}*(-\bruch{2*2^{1/3}}{3*x^{2/3}}+\bruch{2*2^{2/3}}{3*x^{1/3}})-(\bruch{3}{2*\wurzel{x}}-\bruch{3*2^{1/3}}{x^{1/6}}+\bruch{3*2^{1/6}*x^{2/3}}{2})}{x^{3}}
[/mm]
Jetzt kann ich das [mm] x^{3/2} [/mm] mit dem Ausdruck in der Klammer multiplizieren und dann kommt heraus: (Also in der 1.Klammer)
[mm] (-\bruch{2*2^{1/3}*x^{5/6}}{3}+\bruch{2*2^{2/3}*x^{7/6}}{3})
[/mm]
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> Erstmals vielen Dank für deine Hilfe. Ich glaube ich komme
> jetzt schon langsam zum Ende: 1' = 0
>
> [mm]h'(x)=\bruch{x^{3/2}\cdot{}(1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})' - (1-2\cdot{}(2\cdot{}x)^{1/3}+(2x)^{2/3})\cdot{}(x^{3/2})'}{(x^{3/2})^2}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{x^{3/2}*(-\bruch{2*2^{1/3}}{3*x^{2/3}}+\red{\bruch{2*2^{2/3}}{3*x^{1/3}}})-(\bruch{3}{2*\wurzel{x}}-\bruch{3*2^{1/3}}{x^{1/6}}+\red{\bruch{3*2^{1/6}*x^{2/3}}{2})}}{x^{3}}[/mm]
Hallo,
prüfe die rotmarkierten Terme.
Gruß v. Angela
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[mm] ((2*x)^{2/3})' [/mm] = [mm] \bruch{2*2^{2/3}}{3*x^{1/3}}
[/mm]
[mm] (x^{3/2})' [/mm] = [mm] \bruch{3*\wurzel{x}}{2}
[/mm]
Das würde für die Rechnung folgendes bedeuten:
$ [mm] \bruch{x^{3/2}\cdot{}(-\bruch{2\cdot{}2^{1/3}}{3\cdot{}x^{2/3}}+\red{\bruch{2\cdot{}2^{2/3}}{3\cdot{}x^{1/3}}})-(\bruch{3*\wurzel{x}}{2}-\bruch{2^{1/3}}{x^{1/6}}+\red{\bruch{3\cdot{}2^{2/3}\cdot{}x^{7/6}}{2})}}{x^{3}} [/mm] $
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> [mm]((2*x)^{2/3})'[/mm] = [mm]\bruch{2*2^{2/3}}{3*x^{1/3}}[/mm]
>
> [mm](x^{3/2})'[/mm] = [mm]\bruch{3*\wurzel{x}}{2}[/mm]
>
> Das würde für die Rechnung folgendes bedeuten:
>
> [mm]\bruch{x^{3/2}\cdot{}(-\bruch{2\cdot{}2^{1/3}}{3\cdot{}x^{2/3}}+\red{\bruch{2\cdot{}2^{2/3}}{3\cdot{}x^{1/3}}})-(\bruch{3*\wurzel{x}}{2}-\bruch{2^{1/3}}{x^{1/6}}+\red{\bruch{3\cdot{}2^{2/3}\cdot{}x^{7/6}}{2})}}{x^{3}}[/mm]
Hallo,
der erste Term stimmt - war er womöglich vorher auch schon richtig?
Der zweite ist jetzt auch richtig.
Gruß v. Angela
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Ja, der erste Term war vorher auch schon richtig. Der zweite aber nicht. Also soll ich das Ergebnis so darstellen lassen? Weil viel zusammenkürzen kann man ja nicht.
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> Ja, der erste Term war vorher auch schon richtig. Der
> zweite aber nicht. Also soll ich das Ergebnis so darstellen
> lassen? Weil viel zusammenkürzen kann man ja nicht.
Hallo,
auf jeden Fall würde ich die erste Klammer ausmultiplizieren, den ganzen Zähler auf einen Bruchstrich schreiben, danach den Doppelbruch verschwinden lassen, natürlich auch Potenzen mit derselben Basis zusammenfassen, und dann mal gucken.
Bitte keine isolierten Ergebnisse posten, sondern eine amtlich anerkannte korrekte Ausgangsgleichung immer mit dabei.
Die Helfer wollen nämlich keinen Stift in die Hand nehmen müssen, und selbst wenn sie's tun: ihre Mutti schimpft, wenn auf der sonntäglichen gemangelten Damasttischdecke rumgekritzel wird...
Gruß v. Angela
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