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Hallo
ich verzweifle an einer Differentialgleichung, habe sie schon mehrmals versucht zu berechnen. Meine letzte Lösung stimmt fast mit der Musterlösung überein. Frage mich aber mittlerweile, ob die Musterlösung wirklich stimmt. Ohne den gesamten Rechenweg abzutippen, kann mir einer sagen, bei welcher Stelle der Fehler liegt.
Die Gleichung lautet: x''(t) = -n x'(t) - g, x(0) = 10, x'(0) = 0
Die "offizielle" Lösung ist: x(t) = 10 - [mm] \bruch{g}{n^2}(e^{-nt} [/mm] - 1 + tn)
Ich komme auf: x(t) = 10 - [mm] \bruch{g}{n^2}(e^{-nt} [/mm] - 1)
Ich berechne zuerst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung [mm] x_h''(t) [/mm] = -n [mm] x_h'(t) [/mm] und komme auf: [mm] x_h(t) =k_1 [/mm] + [mm] k_2 e^{-nt}
[/mm]
Dann berechne ich eine spezielle Lösung [mm] x_i(t) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{-g s(t - r) dr}, [/mm] wobei s(t) := [mm] x_h(t), k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] ermittle ich, indem ich s(0) := 0, s'(0) := 1 setze und komme dann auf:
[mm] x_i(t) [/mm] = [mm] \bruch{g(1 - e^{-nt})}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
Dann berechne ich x(t) = [mm] x_h(t) [/mm] + [mm] x_i(t), [/mm] wobei ich [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] bestimme, indem ich x(0) = 10 und x'(0) = 0 setze.
Vielen Dank für Eure Tipps!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Sa 19.10.2019 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
zum genaueren Rechnen fehlt mir gerade die Zeit.
- Setze beide Lösungskandidaten in die DGL ein, dann siehst Du, dass Deine Version es nich tut.
- Mein Verdacht ist, dass Du bei einer Integration eine Konstante unterschlagen hast.
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> Hallo
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> ich verzweifle an einer Differentialgleichung, habe sie
> schon mehrmals versucht zu berechnen. Meine letzte Lösung
> stimmt fast mit der Musterlösung überein. Frage mich aber
> mittlerweile, ob die Musterlösung wirklich stimmt. Ohne
> den gesamten Rechenweg abzutippen, kann mir einer sagen,
> bei welcher Stelle der Fehler liegt.
>
> Die Gleichung lautet: x''(t) = -n x'(t) - g, x(0) = 10,
> x'(0) = 0
> Die "offizielle" Lösung ist: x(t) = 10 -
> [mm]\bruch{g}{n^2}(e^{-nt}[/mm] - 1 + tn)
> Ich komme auf: x(t) = 10 - [mm]\bruch{g}{n^2}(e^{-nt}[/mm] - 1)
>
> Ich berechne zuerst die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung [mm]x_h''(t)[/mm] = -n [mm]x_h'(t)[/mm] und komme auf: [mm]x_h(t) =k_1[/mm]
> + [mm]k_2 e^{-nt}[/mm]
> Dann berechne ich eine spezielle Lösung
> [mm]x_i(t)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{t}{-g s(t - r) dr},[/mm] wobei s(t) :=
> [mm]x_h(t), k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] ermittle ich, indem ich s(0) := 0,
> s'(0) := 1 setze und komme dann auf:
>
> [mm]x_i(t)[/mm] = [mm]\bruch{g(1 - e^{-nt})}{n^2}[/mm] - [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
>
> Dann berechne ich x(t) = [mm]x_h(t)[/mm] + [mm]x_i(t),[/mm] wobei ich [mm]k_1[/mm] und
> [mm]k_2[/mm] bestimme, indem ich x(0) = 10 und x'(0) = 0 setze.
>
Die spezielle Lösung ist viel einfacher zu ermitteln, wenn man zunächst annimmt, dass es eine sehr "niederschwellige" Lösung gibt:
Setze x" =0. Daraus ergibt sich 0=-nx'-g und damit
sofort [mm] x=-\bruch{g}{n}t [/mm] (+C kannst du weglassen, es muss ja nur EINE spezielle Lösung gefunden werden).
Da nun damit auch x"=0, wie vermutet, richtig ist, ist [mm] x_i [/mm] gefunden.
Durch Einsetzen bekommst du sofort die angegebene Musterlösung.
Da ich dein Lösungsverfahren nicht kenne, kann ich deinen Fehler auch leider nicht aufspüren. Auf jeden Fall muss der erste Bruch in [mm] x_i [/mm] bei deiner Lösung verschwinden.
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Ich erhalte für dein Integral:
s(t) := [mm] x_h(t)=k_1+k_2 e^{-nt}
[/mm]
s(0)= [mm] k_1+k_2:= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow k_2=-k_1 \Rightarrow
[/mm]
[mm] s(t)=k_1(1-e^{-nt})
[/mm]
[mm] s'(t)=nk_1 e^{-nt} [/mm]
[mm] s'(0)=nk_1:= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow k_1=\bruch{1}{n} \Rightarrow [/mm]
s(t) [mm] =\bruch{1}{n}(1-e^{-nt})
[/mm]
[mm] x_i(t)= \integral_{0}^{t}{-g s(t - r) dr}=-\bruch{g}{n}(1-e^{-nt})\integral_{0}^{t}{(t - r) dr}=-\bruch{g}{n}(1-e^{-nt})(tr-\bruch{1}{2}r^2)|_0^t [/mm] = [mm] \bruch{g}{n}(e^{-nt}-1)\bruch{1}{2}t^2
[/mm]
Falls die Obergrenze 1 statt t sein sollte, ergäbe sich
[mm] ...=-\bruch{g}{n}(1-e^{-nt})(tr-\bruch{1}{2}r^2)|_0^1 [/mm] = [mm] \bruch{g}{n}(e^{-nt}-1)(t-\bruch{1}{2}).
[/mm]
Beide Ergebnisse führen aber weder auf deine noch auf die richtige Lösung.
Es ist was faul im Staate Integral...
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> Da ich dein Lösungsverfahren nicht kenne, kann ich deinen
> Fehler auch leider nicht aufspüren. Auf jeden Fall muss
> der erste Bruch in [mm]x_i[/mm] bei deiner Lösung verschwinden.
Zum Lösungsverfahren zitiere ich mal aus meinem schlauen Buch:
"Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten [mm] c_1, c_0 \in \IR,
[/mm]
x''(t) = [mm] c_1 [/mm] x'(t) + [mm] c_0 [/mm] x(t) + g(t),
hat die Form
x(t) = [mm] x_h(t) [/mm] + [mm] x_i(t),
[/mm]
wobei [mm] x_h(t) [/mm] die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und [mm] x_i(t) [/mm] irgendeine spezielle Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung ist."
Und ein weiteres Zitat:
"Es gibt (sogar) eine explizite Formel, die eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung ausdrückt:
[mm] x_i(t) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{s(t - r) g(r) dr},
[/mm]
wobei s(t) die Lösung der homogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen s(0) = 0, s'(0) = 1 ist."
Hier mal mein kompletter Lösungsweg:
x''(t) = -n x'(t) - g; n, g > 0; x(0) = 10, x'(0) = 0
[mm] x_h(t):
[/mm]
[mm] x_h(t) [/mm] = -n x'(t)
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{n}{2} \pm \wurzel{\bruch{n^2}{4}}= -\bruch{n}{2} \pm \bruch{n}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0, [mm] \lambda_2 [/mm] = -n
[mm] \Rightarrow x_h(t) [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 e^{-nt}, x_h'(t) [/mm] = [mm] -nk_2e^{-nt}
[/mm]
s(t):
s(t) = [mm] x_h(t) [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 e^{-nt}
[/mm]
s(0) = 0 = [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2
[/mm]
[mm] k_1 [/mm] = [mm] -k_2
[/mm]
s'(0) = 1 = -n [mm] k_2
[/mm]
[mm] k_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{n} \Rightarrow k_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] s(t) = [mm] \bruch{1 - e^{-nt}}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_i(t) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{-g(\bruch{1}{n} - \bruch{e^{-n(t - r)}}{4}) dr}
[/mm]
= [mm] g\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{-n(t - r)}}{n} - \bruch{1}{n} dr}
[/mm]
= g [mm] (\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{n(r - t)}}{n} dr} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{n} dr})
[/mm]
= g [mm] (\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{n(r - t)}}{n} dr} [/mm] - [mm] \bruch{t}{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{g e^{-nt}}{n} \integral_{0}^{t}{e^{nr} dr} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{g e^{-nt}}{n} (\bruch{e^{nt}}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{ge^{-nt}}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{g(1 - e^{-nt})}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n} [/mm] = [mm] x_i(t)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_i'(t) [/mm] = [mm] \bruch{g(e^{-nt} - 1)}{n}
[/mm]
x(t):
x(t) = [mm] x_h(t) [/mm] + [mm] x_i(t) [/mm] = [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 e^{-nt} [/mm] + [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{ge^{-nt}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
x'(t) = [mm] -nke^{}-nt [/mm] + [mm] \bruch{ge^{-nt}}{n} [/mm] - [mm] \bruch{g}{n}
[/mm]
x'(0) = 0 = [mm] -nk_2 [/mm] + [mm] \bruch{g}{n} [/mm] - [mm] \bruch{g}{n} [/mm] = [mm] -nk_2 \Rightarrow k_2 [/mm] = 0
x(0) = 10 = [mm] k_1 [/mm] + [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n} [/mm] = [mm] k_1 [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n} \Rightarrow k_1 [/mm] = 10 + [mm] \bruch{gt}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(t) = (10 + [mm] \bruch{gt}{n}) [/mm] + [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{ge^{-nt}}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{gt}{n} [/mm] = 10 + [mm] \bruch{g}{n^2} [/mm] - [mm] \bruch{ge^{-nt}}{n^2} [/mm] = 10 + [mm] \bruch{g(1 - e^{-nt})}{n^2} [/mm] = 10 - [mm] \bruch{g}{n^2} (e^{-nt} [/mm] - 1)
Mag sein, dass es auch einen einfacheren Lösungsweg gibt, aber hiermit müsste ich doch auch zum Ziel kommen. Wer findet hier den Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 20.10.2019 | | Autor: | chrisno |
In dem Buch steht g(r), das erinnert mich an die Greensche Funktion. Ist diese mit der Konstanten aus der DIfferentialgleichung identisch?
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Ich glaube, ich habe folgenden Fehler bei meiner Berechnung gemacht: Ich habe das Integral mit s*(t-r)*g(r) berechnet, also (t-r) als Faktor, statt als Argument "s von t minus r".
Ich werde noch mal nachrechnen, habe aber im Moment keine Zeit.
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> > Da ich dein Lösungsverfahren nicht kenne, kann ich deinen
> > Fehler auch leider nicht aufspüren. Auf jeden Fall muss
> > der erste Bruch in [mm]x_i[/mm] bei deiner Lösung verschwinden.
>
> Zum Lösungsverfahren zitiere ich mal aus meinem schlauen
> Buch:
>
> "Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen
> Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten [mm]c_1, c_0 \in \IR,[/mm]
>
> x''(t) = [mm]c_1[/mm] x'(t) + [mm]c_0[/mm] x(t) + g(t),
>
> hat die Form
>
> x(t) = [mm]x_h(t)[/mm] + [mm]x_i(t),[/mm]
>
> wobei [mm]x_h(t)[/mm] die allgemeine Lösung der zugehörigen
> homogenen Differentialgleichung und [mm]x_i(t)[/mm] irgendeine
> spezielle Lösung der gegebenen inhomogenen
> Differentialgleichung ist."
>
> Und ein weiteres Zitat:
>
> "Es gibt (sogar) eine explizite Formel, die eine spezielle
> Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe der
> allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung
> ausdrückt:
>
> [mm]x_i(t)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{t}{s(t - r) g(r) dr},[/mm]
>
> wobei s(t) die Lösung der homogenen Differentialgleichung
> zu den Anfangsbedingungen s(0) = 0, s'(0) = 1 ist."
>
> Hier mal mein kompletter Lösungsweg:
>
> x''(t) = -n x'(t) - g; n, g > 0; x(0) = 10, x'(0) = 0
>
> [mm]x_h(t):[/mm]
>
> [mm]x_h(t)[/mm] = -n x'(t)
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]-\bruch{n}{2} \pm \wurzel{\bruch{n^2}{4}}= -\bruch{n}{2} \pm \bruch{n}{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0, [mm]\lambda_2[/mm] = -n
>
> [mm]\Rightarrow x_h(t)[/mm] = [mm]k_1[/mm] + [mm]k_2 e^{-nt}, x_h'(t)[/mm] =
> [mm]-nk_2e^{-nt}[/mm]
>
> s(t):
>
> s(t) = [mm]x_h(t)[/mm] = [mm]k_1[/mm] + [mm]k_2 e^{-nt}[/mm]
>
> s(0) = 0 = [mm]k_1[/mm] + [mm]k_2[/mm]
> [mm]k_1[/mm] = [mm]-k_2[/mm]
>
> s'(0) = 1 = -n [mm]k_2[/mm]
> [mm]k_2[/mm] = [mm]-\bruch{1}{n} \Rightarrow k_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s(t) = [mm]\bruch{1 - e^{-nt}}{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_i(t)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{t}{-g(\bruch{1}{n} - \bruch{e^{-n(t - r)}}{4}) dr}[/mm]
>
> = [mm]g\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{-n(t - r)}}{n} - \bruch{1}{n} dr}[/mm]
>
> = g [mm](\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{n(r - t)}}{n} dr}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{n} dr})[/mm]
> = g
> [mm](\integral_{0}^{t}{\bruch{e^{n(r - t)}}{n} dr}[/mm] -
> [mm]\bruch{t}{n})[/mm]
> = [mm]\bruch{g e^{-nt}}{n} \integral_{0}^{t}{e^{nr} dr}[/mm] -
> [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{g e^{-nt}}{n} (\bruch{e^{nt}}{n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
> - [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{g}{n^2}[/mm] - [mm]\bruch{ge^{-nt}}{n^2}[/mm] - [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{g(1 - e^{-nt})}{n^2}[/mm] - [mm]\bruch{gt}{n}[/mm] = [mm]x_i(t)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_i'(t)[/mm] = [mm]\bruch{g(e^{-nt} - 1)}{n}[/mm]
Bis hier ist alles richtig. [mm] x_i [/mm] ist eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems.
>
> x(t):
>
> x(t) = [mm]x_h(t)[/mm] + [mm]x_i(t)[/mm] = [mm]k_1[/mm] + [mm]k_2 e^{-nt}[/mm] + [mm]\bruch{g}{n^2}[/mm]
> - [mm]\bruch{ge^{-nt}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die 4 im Nenner muss [mm] n^2 [/mm] heißen. Du rechnest aber dann richtig weiter (Schreibfehler).
> x'(t) = [mm]-nke^{-nt}[/mm] + [mm]\bruch{ge^{-nt}}{n}[/mm] - [mm]\bruch{g}{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> x'(0) = 0 = [mm]-nk_2[/mm] + [mm]\bruch{g}{n}[/mm] - [mm]\bruch{g}{n}[/mm] = [mm]-nk_2 \Rightarrow k_2[/mm]
> = 0
>
> x(0) = 10 = [mm]k_1[/mm] + [mm]\bruch{g}{n^2}[/mm] - [mm]\bruch{g}{n^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{gt}{n}[/mm] = [mm]k_1[/mm] - [mm]\bruch{gt}{n} \Rightarrow k_1[/mm] = 10 +
> [mm]\bruch{gt}{n}[/mm]
[mm] \bruch{gt}{n}=0, [/mm] da t=0
also nur: [mm] k_1=10
[/mm]
Damit erhältst du dann [mm] x(t)=10+\bruch{g}{n^2}(1-e^{-nt})-\bruch{gt}{n}
[/mm]
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