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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Sa 12.06.2021
Autor: jasmin89

Aufgabe
Berechnen Sie aus gegebener Differentialgleichung die Winkelposition:
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} \dot{\varphi}(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)$ [/mm]

Wobei:
[mm] $\ddot{\varphi}... [/mm] Winkelbeschleunigung
[mm] $\dot{\varphi}... [/mm] Winkelgeschwindigkeit
[mm] ${\varphi}... [/mm] Winkelposition



Wie kann ich denn die gegebene Differentialgleichung so umschreiben dass ich die Winkelposition [mm] ${\varphi} [/mm] erhalte. Muss ich da die Gleichung einfach nur zweimal Integrieren?


Oder muss ich aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung zu einer Differentialgleichung erster Ordnung verringern?

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Sa 12.06.2021
Autor: fred97


> Berechnen Sie aus gegebener Differentialgleichung die
> Winkelposition:
>  [mm]\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} \dot{\varphi}(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)[/mm]
>  
> Wobei:
>  [mm]$\ddot{\varphi}...[/mm] Winkelbeschleunigung
>  [mm]$\dot{\varphi}...[/mm] Winkelgeschwindigkeit
>  [mm]${\varphi}...[/mm] Winkelposition
>  
>
> Wie kann ich denn die gegebene Differentialgleichung so
> umschreiben dass ich die Winkelposition [mm]${\varphi}[/mm] erhalte.
> Muss ich da die Gleichung einfach nur zweimal Integrieren?
>  
> Oder muss ich aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung
> zu einer Differentialgleichung erster Ordnung verringern?


Ja, setze [mm] $y=\dot{\varphi}$, [/mm] dann bekommst du eine inhomogene dgl erster Ordnung für $y$

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Sa 12.06.2021
Autor: jasmin89

Achso ok. Dann sieht das dann so aus:

[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} \dot{\varphi}(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)$ [/mm]
[mm] \\$ [/mm]
Mit [mm] $y=\dot{\varphi}$ [/mm] ersetzen

Man erhält:

[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} y(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)$ [/mm]

Dies kann ich nun auf $y(t)$ umformen:

$y(t)$= - [mm] \ddot{\varphi}(t) \cdot \frac{J}{d}+ \frac{k_{M}}{d} \cdot u_{M}(t) [/mm]

Dann müsste ich diese Gleichung nur noch Lösen umd die Winkelposition zu erhalten? Stimmt dies?


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Sa 12.06.2021
Autor: fred97


> Achso ok. Dann sieht das dann so aus:
>  
> [mm]\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} \dot{\varphi}(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)[/mm]
>  
> [mm]\\$[/mm]
>  Mit [mm]y=\dot{\varphi}[/mm] ersetzen
>  
> Man erhält:
>  
> [mm]\ddot{\varphi}(t)=-\frac{d}{J} y(t)+\frac{k_{M}}{J} u_{M}(t)[/mm]

Hä ? Die linke Seite ist doch $y'(t)$. Hab ich dir nicht oben gesagt, dass du eine dgl für $y$ bekommst  ?

>  
> Dies kann ich nun auf [mm]y(t)[/mm] umformen:
>  
> [mm]y(t)[/mm]= - [mm]\ddot{\varphi}(t) \cdot \frac{J}{d}+ \frac{k_{M}}{d} \cdot u_{M}(t)[/mm]
>  
> Dann müsste ich diese Gleichung nur noch Lösen umd die
> Winkelposition zu erhalten? Stimmt dies?
>  


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Sa 12.06.2021
Autor: chrisno

Wenn aus [mm] $\dot{\varphi}$ [/mm] y wird, was wird dann aus [mm] $\ddot{\varphi}$? [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Sa 12.06.2021
Autor: jasmin89

Ich nehme an aus $ [mm] \ddot{\varphi} [/mm] $ wird y'

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Sa 12.06.2021
Autor: Martinius

Hallo jasmin89,

> Ich nehme an aus [mm]\ddot{\varphi}[/mm] wird y'

Das ist richtig.

LG, Martinius


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