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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:23 Sa 28.01.2006 | | Autor: | peinep47 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Anfangswertproblem y' = [mm] y/x^2 [/mm] + x, y(1) = 0. Erfüllt die
rechte Seite eine Lipschitzbedingung bzgl. y auf E := {(x, y) [mm] \in R^2 [/mm] | x > 0, y [mm] \in [/mm] R}?
Begründen Sie, warum das Anfangswertproblem eine für alle x > 0 definierte eindeutige Lösung besitzt. |
Hallo,
gegeben ist die Funktion y'= [mm] y/(x^2) [/mm] + x mit der Anfangsbedingung y(1) = 0 in einem gegebenen Rechteck R:={(x,y) Element R, x > 0, y Element R}
Ich soll das Iterationsverfahren nach Lindelöf anwenden, folglich muss die Lipschitzstetigkeit beweisen. Ich erhalte die Lipschitzonstante L muss >= [mm] 1/x^2 [/mm] sein, womit ja für x gegen 0 zwangsläufig folgt, dass keine globale Lipschitzstetigkeit vorliegt. Nun kann man aber Lindelöf auf einem Intervall anwenden, auf dem eine lokale Lipschitzstetigkeit vorliegt. Wie
kann ich nun beweisen, dass auf einem Intervall I = [x0 - alpha, x0 + alpha] ich meine um meine Anfangbedingung an der Stelle
1 herum ein Intervall; eine eindeutige Lösung existiert???
Wir haben bisher immer gesagt, dass wenn ich ein größeres Intervall betrachte die Schnittmenge mit dem kleineren Intervall
übereinstimmen muss, und das größere somit eine Erweiterung ist. Wie kann ich denn in meiner Aufgabe nun zeigen, dass dies
der Fall ist? Was genau sagt denn y(1) = 0 aus ist an dieser Stelle die Steigung 0 oder der Wert von y?? Desweiteren muss
ich meine Funktion auf dem gewählten Intervall betrachten oder die Bedingung die ich für L gefunden habe (L >= [mm] 1/x^2)
[/mm]
Ich dachte mir ich wähle zwei Intervalle z.B. I= [0.9 , 1.1] und ein größeres I = [0.7 , 1.3] und bilden den linksseitigen
Grenzwert an der Stelle 0.9 dieser muss dann beim größeren identisch dem Wert des kleineren an der Stelle 0.9 sein.
Ist dies der richtige Ansatz, erscheint mir ein bißchen viel Aufwand. Oder gibt es einen anderen Weg zu zeigen, dass es sich
um eine eindeutige Lösung handelt???
Vielen Dank schon mal im Voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewforum.php?forum=80
http://www.matheboard.de/newthread.php?boardid=21]
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