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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Di 31.01.2006
Autor: Sandeu

Aufgabe
Zeigen Sie, dass f(x)= [mm] c_{1}sinh(ax)+ c_{2}cosh(ax) [/mm] für beliebige a,  [mm] c_{1}, c_{2} \in \IR [/mm] die Differentialgleichung

[mm] \bruch{ d^{2}}{d x^{2}} [/mm] f(x) =  [mm] a^{2} [/mm] f(x)

löst.

Also ich habe die ersten beiden Ableitungen gemacht und für

f'(x)=  [mm] \bruch{ c_{1}}{2}(a e^{ax}+a e^{-ax})+ \bruch{ c_{2}}{2}(a e^{ax}-a e^{-ax}) [/mm]

f''(x)=  [mm] \bruch{ c_{1}}{2}( a^{2} e^{ax}+ a^{2} e^{-ax})+ \bruch{ c_{2}}{2}( a^{2} e^{ax}- a^{2} e^{-ax}) [/mm]

Wobei die zweite Ableitung ja genau  [mm] a^{2} [/mm] f(x) ist.

Meine Frage ist jetzt vielleicht dumm, aber was passiert mit  [mm] \bruch{ d^{2}}{ dx^{2}}??? [/mm]


        
Bezug
Differentialgleichung: geht auch kürzer ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 31.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Sandeu!


> f'(x)=  [mm]\bruch{ c_{1}}{2}(a e^{ax}+a e^{-ax})+ \bruch{ c_{2}}{2}(a e^{ax}-a e^{-ax})[/mm]
>  
> f''(x)=  [mm]\bruch{ c_{1}}{2}( a^{2} e^{ax}+ a^{2} e^{-ax})+ \bruch{ c_{2}}{2}( a^{2} e^{ax}- a^{2} e^{-ax})[/mm]

Das hättest Du auch kürzer haben können mit:

$f'(x) \ = \ [mm] a*c_1*\cosh(a*x)+a*c_2*\sinh(a*x) [/mm] \ = \ [mm] a*\left[c_1*\cosh(a*x)+c_2*\sinh(a*x)\right]$ [/mm]

$f''(x) \ = \ [mm] a*\left[a*c_1*\sinh(a*x)+a*c_2*\cosh(a*x)\right] [/mm] \ = \ [mm] a^2*\left[c_1*\sinh(a*x)+c_2*\cosh(a*x)\right] [/mm] \ = \ [mm] a^2*f(x)$ [/mm]



> Wobei die zweite Ableitung ja genau  [mm]a^{2}[/mm] f(x) ist.

[daumenhoch]

  

> Meine Frage ist jetzt vielleicht dumm, aber was passiert
> mit  [mm]\bruch{ d^{2}}{ dx^{2}}[/mm] ???

Das ist schlicht und ergreifend eine Darstellung für die 2. Ableitung nach der Variablen $x_$ :

[mm] $\bruch{d^2}{dx^2}f(x) [/mm] \ = \ f''(x)$


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Di 31.01.2006
Autor: Sandeu

Ditsch...Peng

Haste gehört wie das Brett vor meinem Kopf eben runtergefallen ist.

Naja vielen Dank jedenfalls, manchmal sieht man den Wald halt vor lauter Bäumen nicht.

Lieben Gruß

Bezug
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