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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 06.12.2006 | | Autor: | extral |
| Aufgabe | Diese Aufgabe kann ich leider nicht komplett lösen, bitte um Hilfe!
Aufgabenstellung:
Man gebe alle Lösungen der Differentialgleichung
y'''(x)+2y''(x)-15y'(x)-36y(x)=0
an, die für x →∞ beschränkt bleiben und für die y'(0)=15 gilt. |
Dec char. Polynom habe ich gefunden und zerlegt:
[mm] \lambda^3+2\lambda^2-15\lambda-36=(\lambda-4)(\lambda+3)^2
[/mm]
allgemeine komplexwertige Lösung hab ich auch somit gefunden:
[mm] y_{allg}(x)=C_1 e^{4x}+C_2e^{-3x}+C_3xe^{-3x}
[/mm]
Wie finde ich [mm] C_1 [/mm] / [mm] C_2 [/mm] / [mm] C_3 [/mm] ?
Mir ist klar, dass ich die AWP irgentwie einsetzen muss, aber wie genau. Bitte um detallierte Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, extral,
> Aufgabenstellung:
> Man gebe alle Lösungen der Differentialgleichung
>
> y'''(x)+2y''(x)-15y'(x)-36y(x)=0
>
> an, die für x →∞ beschränkt bleiben und für die
> y'(0)=15 gilt.
> Dec char. Polynom habe ich gefunden und zerlegt:
>
> [mm]\lambda^3+2\lambda^2-15\lambda-36=(\lambda-4)(\lambda+3)^2[/mm]
>
> allgemeine komplexwertige Lösung hab ich auch somit
> gefunden:
Zwischenfrage: Wieso "komplexwertig"?
> [mm]y_{allg}(x)=C_1 e^{4x}+C_2e^{-3x}+C_3xe^{-3x}[/mm]
>
> Wie finde ich [mm]C_1[/mm] / [mm]C_2[/mm] / [mm]C_3[/mm] ?
>
> Mir ist klar, dass ich die AWP irgentwie einsetzen muss,
> aber wie genau. Bitte um detallierte Antwort.
Zunächst soll ja die Lösung für x [mm] \to +\infty [/mm] beschränkt bleiben.
Das kann aber nur für [mm] C_{1}=0 [/mm] richtig sein!
Dann bilde die Ableitung der "verbleibenden" Funktion:
f'(x) = [mm] -3c_{2}*e^{-3x} +c_{3}*(e^{-3x} -3x*e^{-3x})
[/mm]
f'(0) = [mm] -3c_{2} [/mm] + [mm] c_{3} [/mm] = 15 (laut Vorgabe)
Daher: [mm] c_{3} [/mm] = 15 + [mm] 3c_{2}.
[/mm]
Setzte der Einfachheit halber [mm] c_{2} [/mm] = c und Du kriegst:
f(x) = [mm] c*e^{-3x} +(15+3c)*x*e^{-3x} [/mm] bzw.
f(x) = (c + [mm] (15+3c)x)*e^{-3x}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 06.12.2006 | | Autor: | extral |
Erstmal vielen dank für deine sehr schnelle und ausführliche Antwort!
>Zwischenfrage: Wieso "komplexwertig"?
Hm, keine Ahnung, heist das nicht so? Hab es irgentwo im Buch gelesen. Berichtige mich wenn ich was falsch verstanden habe.
>Zunächst soll ja die Lösung für [mm] x\to+\infty [/mm] beschränkt bleiben.
>Das kann aber nur für richtig sein!
Dieses Teil hab ich nicht so wirklich verstanden, kannst du es vieleicht noch mal genauer erläutern?
>Setzte der Einfachheit halber [mm] c_2= [/mm] c und Du kriegst:
Kann man in der Lösung einfach so, statt [mm] c_1 [/mm] / [mm] c_2 [/mm] / [mm] c_3, [/mm] c schreiben, wenn nur eine [mm] c_3 [/mm] oder [mm] c_2 [/mm] bleibt?
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Hi, extral,
> >Zwischenfrage: Wieso "komplexwertig"?
>
> Hm, keine Ahnung, heist das nicht so? Hab es irgentwo im
> Buch gelesen. Berichtige mich wenn ich was falsch
> verstanden habe.
Na, mir erscheint die DGL eher für reelle Funktionen zu gelten (drum ja auch die Variable x - bei komplexen Funktionen doch meist z); vor allem aber wüsst ich sonst auf Anhieb nichts mit dem Grenzwert x [mm] \to \infty [/mm] anzufangen!
> >Zunächst soll ja die Lösung für [mm]x\to+\infty[/mm] beschränkt
> bleiben.
> >Das kann aber nur für [mm] c_{1} [/mm] =0 richtig sein!
>
> Dieses Teil hab ich nicht so wirklich verstanden, kannst du
> es vieleicht noch mal genauer erläutern?
Es gilt ja: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{4x} [/mm] = [mm] \infty, [/mm] woran auch die Konstante nichts ändert;
für die beiden anderen Summanden aber ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-3x} [/mm] = 0
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x*e^{-3x} [/mm] = 0
Wenn also am Ende nicht [mm] \infty [/mm] rauskommen soll, muss der erste Summand verschwinden.
> >Setzte der Einfachheit halber [mm]c_2=[/mm] c und Du kriegst:
> Kann man in der Lösung einfach so, statt [mm]c_1[/mm] / [mm]c_2[/mm] / [mm]c_3,[/mm] c
> schreiben, wenn nur eine [mm]c_3[/mm] oder [mm]c_2[/mm] bleibt?
Wenn am Ende NUR NOCH EINE KONSTANTE übrig bleibt, benennst Du die natürlich so einfach als möglich.
Und bei Dir fällt [mm] c_{1} [/mm] weg (ist 0), und [mm] c_{3} [/mm] lässt sich durch [mm] c_{2} [/mm] ausdrücken: Bleibt nur eine übrig.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 06.12.2006 | | Autor: | extral |
Vielen Dank Zwerglein, nun ist alles geklärt!
mfg, extral
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