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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 19.05.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Man bestimme ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen für die folgende Differentialgleichung:
y''-4y'+4y=0
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Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
Differentialgleichungen ersten Grades zu lösen ist kein Problem?
Aber wie macht man dies für Differentialgleichungen höheren Grades?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
setzt [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR
[/mm]
zweimal differenzieren, [mm] e^{\lambda*x} [/mm] ausklammern und die quadratische Gleichung lösen
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 19.05.2008 | | Autor: | jokerose |
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> setzt [mm]y=e^{\lambda}[/mm] mit [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> zweimal differenzieren, [mm]e^{\lambda}[/mm] ausklammern und die
> quadratische Gleichung lösen
>
>
Ich habe nicht genau verstanden, wie du das meinst.
Also wenn ich [mm] y=e^\lambda [/mm] setze, erhalte ich ja folgenden Ausdruck:
[mm] (e^\lambda)'' [/mm] - [mm] 4(e^\lambda)' +4e^\lambda [/mm] = 0
Und wenn ich nun ableite ändert sich ja nichts an der Sache, denn [mm] e^\lambda [/mm] abgeleitet bleibt ja gleich.
Wie meinst du denn das genau?
Und kann ich dann auch analog für
y'''-2y''+2y'-y=0 verfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> >
> > setzt [mm]y=e^{\lambda}[/mm] mit [mm]\lambda\in\IR[/mm]
> >
> > zweimal differenzieren, [mm]e^{\lambda}[/mm] ausklammern und die
> > quadratische Gleichung lösen
> >
> >
> Ich habe nicht genau verstanden, wie du das meinst.
> Also wenn ich [mm]y=e^\lambda[/mm] setze, erhalte ich ja folgenden
> Ausdruck:
>
>
> [mm](e^\lambda)''[/mm] - [mm]4(e^\lambda)' +4e^\lambda[/mm] = 0
wenn du aber [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm] zweimal differenzierst, erhältst du
[mm] y'=\lambda*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] y''=\lambda^2*e^{\lambda*x}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}-4*\lambda*e^{\lambda*x}+4*e^{\lambda*x}=0
[/mm]
[mm] e^{\lambda*x}*(\lambda^2-4\lambda+4)=0
[/mm]
aus dem quadratischen Term bekommst du nun deine Lösungen
> Und wenn ich nun ableite ändert sich ja nichts an der
> Sache, denn [mm]e^\lambda[/mm] abgeleitet bleibt ja gleich.
fast, denn y=f(x) und du musst mit [mm] \lambda [/mm] nachdifferenzieren
> Wie meinst du denn das genau?
>
>
> Und kann ich dann auch analog für
>
> y'''-2y''+2y'-y=0 verfahren?
ja
Lg
Herby
ich hatte die andere Antwort schon nacheditiert, aber mein Explorer spinnt und hatte die Bearbeitung nicht gesendet - sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 20.05.2008 | | Autor: | jokerose |
Yep, das habe ich nun auf diese Weise gemacht.
Für die Diff'gleichung y''-4y'+4y=0 habe ich dann also folgende Lösung erhalten:
y(x) = [mm] e^{2x}
[/mm]
Da aber noch die Konstanten betrachtet werden müssen, komme ich dann auf
y(x) = [mm] e^{2x}*(c_{1}x [/mm] + [mm] c_{2})
[/mm]
Ist dies korrekt?
Zusätzlich steht noch in der Aufgabe, man soll ein Fundamentalsystem von Lösungen finden.
Ich habe dann also folgende Basis des Lösungsraumes erhalten:
B = { [mm] e^{2x}*x [/mm] , [mm] e^{2x} [/mm] }
Habe ich das richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 20.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das ist alles korrekt - du kannst noch mit der Wronski-Determinate überprüfen, ob deine Lösungfunktionen auch wirklich ein Fundamentalsystem darstellen, wenn:
[mm] W_{(x_1;x_2)}\not=0
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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