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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 06.07.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Seien a: [mm] \IR\to\IR [/mm] und [mm] f:\IR\to\IR [/mm] beschränkte Funktionen. Zeige dass die durch x(t):= [mm] exp(\integral_{0}^{t}{a(\gamma) d\gamma})x_{0}+\integral_{0}^{t}{exp(\integral_{s}^{t}{a(\gamma) d\gamma})f(s) ds} [/mm] gegebene Funktion [mm] x:\IR\to\IR [/mm] die Differentialgleichung
[mm] \bruch{d}{dx}x(t)=a(t)x(t)+f(t)
[/mm]
zum Anfangswert [mm] x(0)=x_{0} [/mm] löst. |
Hallo,
ich hab schon ein wenig rumprobiert,aber ich komme einfach durcheinander mit den vielen Variablen.
Kann mir vielleicht jemand bei der Handhabung der Aufgabe helfen?
danke...lg
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Hallo simplify,
> Seien a: [mm]\IR\to\IR[/mm] und [mm]f:\IR\to\IR[/mm] beschränkte Funktionen.
> Zeige dass die durch x(t):= [mm]exp(\integral_{0}^{t}{a(\gamma) d\gamma})x_{0}+\integral_{0}^{t}{exp(\integral_{s}^{t}{a(\gamma) d\gamma})f(s) ds}[/mm]
> gegebene Funktion [mm]x:\IR\to\IR[/mm] die Differentialgleichung
> [mm]\bruch{d}{dx}x(t)=a(t)x(t)+f(t)[/mm]
> zum Anfangswert [mm]x(0)=x_{0}[/mm] löst.
> Hallo,
> ich hab schon ein wenig rumprobiert,aber ich komme
> einfach durcheinander mit den vielen Variablen.
> Kann mir vielleicht jemand bei der Handhabung der Aufgabe
> helfen?
In solchen Fällen ist es ratsam schrittweise vorzugehen.
Mache deshalb folgende Definitionen:
[mm]g\left(s,t,\gamma\right):=a\left(\gamma\right)[/mm]
[mm]h\left(s,t,\gamma\right)=f\left(s\right)*e^{\integral_{s}^{t}{g\left(s,t,\gamma\right) \ d\gamma}}[/mm]
Dann steht da:
[mm]x\left(t\right)=x_{0}*e^{\integral_{0}^{t}{g\left(s,t,\gamma\right) \ d\gamma}}+\integral_{0}^{t}{h\left(s,t,\gamma\right) \ ds}[/mm]
> danke...lg
Gruß
MathePower
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