Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] A\in GL(\IR^{n}), t\in\IR, x_{0}\in\IR^{n} [/mm] und [mm] x:\IR [/mm] x [mm] \IR^{n}\to\IR^{n} [/mm] mit [mm] x(0,x_{0})=x_{0}. [/mm] x' sei die Ableitung nach t, also [mm] x'(t,x_{0})= \bruch{d}{dt}x(t,x_{0}).
[/mm]
1. Finden Sie eine Lösung der linearen, autonomen (zeitunabhängigen: A hänge nicht von t ab) Differentialgleichung
x'=Ax,
finden Sie also zur Matrix A und zum Anfangswert [mm] x_{0} [/mm] eine Lösungsfunktion x mit [mm] x(0,x_{0})=x_{0} [/mm] und [mm] \bruch{d}{dt}x(t,x_{0})=Ax(t,x_{0}) [/mm] für alle [mm] t\in\IR.
[/mm]
2. Zeigen Sie, dass die Lösung eindeutig ist, indem Sie zeigen, dass für jede Lösung x gilt:
[mm] \bruch{d}{dt}\left| \left|x(t,x_{0})-exp(At)x_{0} \right|\right|_{\IR^{n}}^{2}=0
[/mm]
|
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht viel weiter.
Bisher habe ich Differentialgleichungen nur mit der Jordan-Normalform gelöst, aber das hilft mir hier irgendwie nicht.
Wäre schön, wenn mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen könnte, wie ich am besten anfange.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu 1.: In 2. wird eine Lösung doch schon verraten:
[mm] $x(t,x_0) [/mm] = [mm] exp(At)x_0$
[/mm]
Zu 2: :
Beachte für $z [mm] \in \IR^n$
[/mm]
[mm] $||z||^2 [/mm] = z*z$
Multipliziere also
[mm] \left| \left|x(t,x_{0})-exp(At)x_{0} \right|\right|_{\IR^{n}}^{2}
[/mm]
aus und differenziere
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Reaktion.
Aber wie ist der Weg zu der Lösung aus 2.? Wie komme ich dahin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Reaktion.
>
> Aber wie ist der Weg zu der Lösung aus 2.? Wie komme ich
> dahin?
Differenziere
$ [mm] x(t,x_0) [/mm] = [mm] exp(At)x_0 [/mm] $
und schau nach , ob x die DGL erfült.
(das tut es)
FRED
|
|
|
| |
|
Bei 2. komme ich immer noch nicht ganz weiter. Ich hab den Term jetzt ausmultipliziert.
Dann erhalte ich
[mm] (x(t,x_{0}))^2-2x(t,x_{0})exp(At)x_{0}+exp(2At)(x_{0})^2.
[/mm]
Und wenn ich das nun differenziere, erhalte ich
[mm] 2x(t,x_{0})x'(t,x_{0})-2x'(t,x_{0})exp(At)x_{0}+2x(t,x_{0})*Ax_{0}exp(At)+2A(x_{0})^2exp(2At)
[/mm]
Und jetzt stecke ich fest. Ich bin mir aber auch nicht so sicher, ob das was ich gemacht habe richtig ist.
Hat jemand vielleicht eine Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mi 08.07.2009 | | Autor: | takeiteasy |
Keiner weiß was ):
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 10.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
