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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 18.07.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Differentialgleichung:
[mm] \ddot x+6\dot x+5x=24e^t
[/mm]
a) Bestimmen Sie die allg. Lsg. der hom. GDL
[mm] $\ddot x+6\dot [/mm] x+5x=0$
b) Bestimmen Sie eine Lsg. der inhom. DGL, beispielsweise mit Hilfe des Ansatzes [mm] x(t)=ae^{bt}
[/mm]
c) Geben Sie die allgemeine Lsg. der GDL an, sowie eine spezielle Lsg., die die Anfangsbedingungen [mm] $x(0)=\dot [/mm] x(0)=0$ |
Zu a)
Ansatz: [mm] x(t)=ae^{bt}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] Ableitungen:
[mm] $\dot x(t)=abe^{bt}
[/mm]
[mm] \ddot x(t)=ab^2e^{bt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow ae^{bt}(b^2+6b+5)=0
[/mm]
Das ist nur null wenn [mm] (b^2+6b+5)=0 [/mm] ist, also:
[mm] $b_{1/2}=3\pm\sqrt{9-5} \quad\Rightarrow b_{1/2}=3\pm [/mm] 2$
Somit ist die allg. Lsg.: [mm] $x(t)=ae^{5t}+ae^t$
[/mm]
Wie funktionieren Teilaufgabe b) und c) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo notinX!
Setze $x(t) \ = \ [mm] a*e^{t}$ [/mm] in die DGL (mit Störglied) ein und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich durch.
Die Gesamtlösung ergibt sich dann mittels Addition aus homogener und partikulärer Lösung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 18.07.2009 | | Autor: | notinX |
Hallo Loddar,
danke erstmal. Was ist ein Störglied?
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Hallo notinX,
> Hallo Loddar,
>
> danke erstmal. Was ist ein Störglied?
Das Störglied ist der Teil ohne x,
hier also die rechte Seite der DGL: [mm]24*e^{t}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 18.07.2009 | | Autor: | notinX |
Korrektur zu a) Somit ist die allg. Lsg.: $ [mm] x(t)=e^{-5t}+e^{-t} [/mm] $
zu b) ich setze [mm] x(t)=ae^{bt} [/mm] in die Gleichung ein:
[mm] ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=24e^t [/mm] Jetzt kann man [mm] ae^{bt} [/mm] ausklammern:
[mm] ae^{bt}(b^2+6b+5)=24e^{t}
[/mm]
Jetzt habe ich aber das Problem, dass auf der rechten Seite der Gleichung nur "t" im Exponent und auf der Linken "bt" steht. Kann ich trotzdem einen Koeffizientenvergleich machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 19.07.2009 | | Autor: | notinX |
b) Koeffizientenvergleich für b=1 leifert:
[mm] $(a+6a+5a)=24\quad\Rightarrow\quad [/mm] a=2$
Einsetzen der gefundenen Funktion zeigt, dass [mm] x(t)=2e^t [/mm] die DGL löst:
[mm] 2e^t+12e^t+10e^t=24e^t
[/mm]
c) Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die allgemeine Lsg. der DGL [mm] x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}+ct+d
[/mm]
Nun müssen noch die Koeffizienten c und d bestimmt werden
$x(0)=2+1+1+d$
[mm] $0=2+1+1+d\quad\Rightarrow\quad [/mm] d=-4$
[mm] $\dot x(0)=-5-1+2+c\quad\Rightarrow\quad [/mm] c=4$
Die spezielle Lsg. lautet dann: [mm] $x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}-4t+4$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> b) Koeffizientenvergleich für b=1 leifert:
> [mm](a+6a+5a)=24\quad\Rightarrow\quad a=2[/mm]
> Einsetzen der gefundenen Funktion zeigt, dass [mm]x(t)=2e^t[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") die
> DGL löst:
> [mm]2e^t+12e^t+10e^t=24e^t[/mm]
>
> c) Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die
> allgemeine Lsg. der DGL [mm]x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}+ct+d[/mm]
Nein, die allg. Lösung ist [mm] $x(t)=\blue{x_{hom}(t)}+\green{x_{part}(t)}$
[/mm]
Also [mm] $x(t)=\blue{c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}}+\green{2e^t}$
[/mm]
Da setze nun deine beiden Anfangsbedingungen ein, die liefern dir 2 Gleichungen in [mm] $c_1,c_2$, [/mm] die du dann noch lösen musst
> Nun müssen noch die Koeffizienten c und d bestimmt
> werden
> [mm]x(0)=2+1+1+d[/mm]
> [mm]0=2+1+1+d\quad\Rightarrow\quad d=-4[/mm]
> [mm]\dot x(0)=-5-1+2+c\quad\Rightarrow\quad c=4[/mm]
>
> Die spezielle Lsg. lautet dann:
> [mm]x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}-4t+4[/mm]
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 19.07.2009 | | Autor: | notinX |
[mm] $x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+2e^t$
[/mm]
[mm] $\dot x(t)=-c_1e^{-t}-5c_2e^{-5t}+2e^t$
[/mm]
[mm] \Rightarrow x(0)=c_1+c_2+2 \Rightarrow c_1=-c_2-2
[/mm]
[mm] \dot x(0)=-c_1-5c_2+2 \Rightarrow c_2+2-5c_2+2=0 [/mm]
Aus diesn beiden Gleichungen ergeben sich [mm] c_2=1 [/mm] und [mm] c_1=-3
[/mm]
Also ist die spezielle Lsg: [mm] x(t)=-3e^{-t}+e^{-5t}+2e^t
[/mm]
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Hallo nochmal,
> [mm]x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+2e^t[/mm]
> [mm]\dot x(t)=-c_1e^{-t}-5c_2e^{-5t}+2e^t[/mm]
> [mm]\Rightarrow x(0)=c_1+c_2+2 \Rightarrow c_1=-c_2-2[/mm]
>
> [mm]\dot x(0)=-c_1-5c_2+2 \Rightarrow c_2+2-5c_2+2=0[/mm]
> Aus diesn beiden Gleichungen ergeben sich [mm]c_2=1[/mm] und [mm]c_1=-3[/mm]
> Also ist die spezielle Lsg: [mm]x(t)=-3e^{-t}+e^{-5t}+2e^t[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es muss heißen:
