Differentialgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | y'''-2y"+7y'-14y=0
y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
------------------
y"+2y'+10y=0 |
Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie eine reelle Lösung der DGl und lösen Sie das zugehörige AWP
y'''-2y"+7y'-14y=0
y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
b) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung der Differentialgleichung
y"+2y'+10y=0
hat jemand eine idee dafür wie man das löst
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Fr 21.05.2010 | | Autor: | abakus |
> y'''-2y"+7y'-14y=0
Hallo,
Umstellen liefert y'''+7y'=2(y''+7y), und y'''+7y' ist ja die Ableitung von (y''+7y),
Jede Funktion, deren Ableitung doppelt so groß ist wie die Funktion selbst, erfüllt also die DGL.
Wie wäre es z.B. mit [mm] e^{2x}?
[/mm]
Gruß Abakus
>
> y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
>
> ------------------
>
>
> y"+2y'+10y=0
> Aufgabe 1
>
> a) Bestimmen Sie eine reelle Lösung der DGl und lösen Sie
> das zugehörige AWP
>
> y'''-2y"+7y'-14y=0
>
> y(0)=0 , y'(0)=1 , y"(0)=1
>
> b) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung der
> Differentialgleichung
>
> y"+2y'+10y=0
>
> hat jemand eine idee dafür wie man das löst
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
hi
ja umstellen habe ich mir auch gedacht aber war mir nicht sicher.wie meinst du denn mit e^2x?
ich verstehe nicht so ganz
|
|
|
| |
|
Hallo,
bestimme das charakteristische Polynom von y'''-2y"+7y'-14y=0 . das ist gegeben durch
[mm] \lambda^3-2*\lambda^2+7*\lambda-14=0 [/mm] . Die hat Lösungen [mm] \lambda_1=2 [/mm] , [mm] \lambda_2=i*\wurzel{7} [/mm] , [mm] \lambda_3=-i*\wurzel{7}... [/mm] Kommst du damit weiter ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 22.05.2010 | | Autor: | abakus |
> hi
>
> ja umstellen habe ich mir auch gedacht aber war mir nicht
> sicher.wie meinst du denn mit e^2x?
> ich verstehe nicht so ganz
Die Ableitung von [mm] y=e^{2x} [/mm] ist [mm] y'=2e^{2x} [/mm] und damit doppelt so groß wie die Funktion selbst.
|
|
|
| |
|
also ich habe so gemacht
[mm] \lambda^{3}-2\lambda^{2}+7\lambda-14=0
[/mm]
dann kommt 3 lambda werte raus
[mm] \lambda [/mm] 1 = 2
[mm] \lambda [/mm] 2 = [mm] i\wurzel{7}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] 3 = [mm] -i\wurzel{7}
[/mm]
dann geht so weiter
[mm] y(x)=A.e^{2x}+B.e^{i\wurzel{7}x}+C.e^{-i\wurzel{7}x}
[/mm]
A,B,C [mm] \in \IC
[/mm]
so bin da stehen geblieben
was schon gegeben ist
y(0)=0 , y'(0)=1 , y''(0)=1
das muss ich irgendwie da reinsetzen.oder habe ich schon bei y(x) stellung falsch gemacht.bin völlig durcheinander gekommen
|
|
|
| |
|
Hallo,
> also ich habe so gemacht
>
> [mm]\lambda^{3}-2\lambda^{2}+7\lambda-14=0[/mm]
> dann kommt 3 lambda werte raus
> [mm]\lambda[/mm] 1 = 2
> [mm]\lambda[/mm] 2 = [mm]i\wurzel{7}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] 3 = [mm]-i\wurzel{7}[/mm]
>
> dann geht so weiter
>
> [mm]y(x)=A.e^{2x}+B.e^{i\wurzel{7}x}+C.e^{-i\wurzel{7}x}[/mm]
Richtig, jedoch unschön... bedenke, dass du jede komplexe zahl als r*(cos(x)+i*sin(x)) schreiben kannst...
> A,B,C [mm]\in \IC[/mm]
>
> so bin da stehen geblieben
> was schon gegeben ist
> y(0)=0 , y'(0)=1 , y''(0)=1
> das muss ich irgendwie da reinsetzen.oder habe ich schon
> bei y(x) stellung falsch gemacht.bin völlig durcheinander
> gekommen
Einsetzen, dann kriegst du drei gleichungen mit drei unebkannten.
LG
|
|
|
| |
|
na dann wird so
[mm] y(x)=A.e^{2x}+B.e^{\wurzel{7}(cosx+isinx)}+C.e^{\wurzel{-7}(cosx+isinx)}
[/mm]
jetzt sieht so aus.noch bescheuerte:))
jetzt muss ich dir y(0) werte finden
y(0)=A+B+C=0
was ist mit anderen hier muss ich noch ableitung machen für die hier
y'(0)=1 ????
y''(0)=1 ????
|
|
|
| |
|
hallo,
was hast du denn da gemacht ?? Du sollst nicht das i umschreiben... eine komplexe zahl der form [mm] e^{i\theta} [/mm] kann geschrieben werden als [mm] cos(\theta)+i*sin(\theta) [/mm] ... Hast du also [mm] e^{(\mu+i*\lambda)*x} [/mm] dann ist das
[mm] =e^{\mu}*(cos(\lambda*x)+i*sin(\lambda*x)) [/mm] ...
Leite deine allgemeine Lösung ab, setze die werte ein. Dann bekommst du die drei gleichungen mit drei unbekannten, die leicht zu lösen sind.
LG
|
|
|
|
