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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:03 Fr 21.05.2010 | | Autor: | soljenitsin |
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] \vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x}
[/mm]
ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm] \lambda [/mm] von oben links bis unten recht . 1- [mm] \lambda [/mm] ,3- [mm] \lambda [/mm] usw.
aber dann weiss ich nicht wie das geht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
> Aufgabe 1
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> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
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> [mm]\vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x}[/mm]
>
>
> ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm]\lambda[/mm] von oben
> links bis unten recht . 1- [mm]\lambda[/mm] ,3- [mm]\lambda[/mm] usw.
> aber dann weiss ich nicht wie das geht
Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Bestimme trotzdem zunächst Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.
Grüße,
Stefan
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antwort zu steppenhahn
hallo
wie kommst du darauf dass die matrix nicht diagonalisierbar ist.wenn man da [mm] \lambda [/mm] setzt kommt denn 3 lambda werten raus.aber ich weiss es nicht wie es weiter geht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Fr 21.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
sollte da nicht sowas stehen wie
[mm] \bruch{d}{dt}\left(\vektor{x \\ y \\ z}\right)=M*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ?? Was du dort aufgeschrieben hast beinhaltet ja keinerlei differentiale..
Lg
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anwort zu MontBlanc
ja bin auch der meinung dass sowas da stehen soll ist aber nicht.
frage ist einfach sogegeben wie ich da geschrieben habe.nicht wenig ; nicht mehr.
ich stehe völlig auf dem schlauch :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Fr 21.05.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Aufgabe 1
>
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> [mm]\vec{x}= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } \vec{x}[/mm]
Du meintest bestimmt:
[mm]x'= \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } x[/mm] mit [mm] $x\in \IC^3$
[/mm]
>
>
> ich bin der meinung setzen wir erstmal [mm]\lambda[/mm] von oben
> links bis unten recht . 1- [mm]\lambda[/mm] ,3- [mm]\lambda[/mm] usw.
> aber dann weiss ich nicht wie das geht
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Den Ansatz, den ich kenne ist die Matrix als Jordan-Normalform zu schreiben:
$A=SJ [mm] S^{-1}$
[/mm]
[m] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } = \left( \begin {array}{ccc} 1/9&-1/3&{\frac {8}{9}}
\\ \noalign{\medskip}1/9&-1/3&-1/9\\ \noalign{\medskip}1/9&2/3&-1/9
\end {array} \right)
\cdot \left( \begin {array}{ccc} 4&0&0\\ \noalign{\medskip}0&1&1
\\ \noalign{\medskip}0&0&1\end {array} \right) \cdot \left( \begin {array}{ccc} 1&5&3\\ \noalign{\medskip}0&-1&1
\\ \noalign{\medskip}1&-1&0\end {array} \right)
[/m]
Der Ansatz ist für die Lösung der DGL ist ja [mm] $e^{A} [/mm] = S [mm] e^{t*J} S^{-1}$
[/mm]
Damit komme ich auf die Lösung
[m]vec{x}= \left( \begin {array}{ccc} 1/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,t{{\rm e}^{t}}+
{\frac {8}{9}}\,{{\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-5/9\,{{\rm e}^{t}}
+1/3\,t{{\rm e}^{t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,{{\rm e}^{t}}
\\ \noalign{\medskip}1/9\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,t{{\rm e}^{t}}-1/9\,{
{\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^{4\,t}}+4/9\,{{\rm e}^{t}}+1/3\,t{{\rm e}^{
t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}-1/3\,{{\rm e}^{t}}\\ \noalign{\medskip}1/9\,
{{\rm e}^{4\,t}}+2/3\,t{{\rm e}^{t}}-1/9\,{{\rm e}^{t}}&5/9\,{{\rm e}^
{4\,t}}-5/9\,{{\rm e}^{t}}-2/3\,t{{\rm e}^{t}}&1/3\,{{\rm e}^{4\,t}}+2
/3\,{{\rm e}^{t}}\end {array} \right) * \vektor{a \\ b \\c}
[/m]
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antwort zu wieschoo
hallo
die frage ist einfach so gegeben wie ich geschriben habe
und wie kommst du auf jordan matrix.?also meinst du es ist einzigste lösungsweg oder gibts noch andere was du kennst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne ' an x ist das keine DGL!!
2. ihr habt sicher irgendwas über die lösung von linearen DGL gelernt. Das hier alles zu wiederholen führt zu weit. Ausserdem gibts dazu viel Quellen im netz. Also such mal in deinem script.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Sa 22.05.2010 | | Autor: | wieschoo |
> antwort zu wieschoo
>
> hallo
>
> die frage ist einfach so gegeben wie ich geschriben habe
Wenn das so (ohne x') wäre, dann ist die Lösung [mm] $\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\0}$ [/mm]
> und wie kommst du auf jordan matrix.?also meinst du es ist
Das ist eigentlich eine Sache aus der Linearen Algebra. Du bestimmst die Eigenwerte und dann die Kerne von den entsprechenden Unterräumen.
> einzigste lösungsweg oder gibts noch andere was du
> kennst.
Den einzigsten Lösungsweg gibt es nie!
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