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Wie kann man die Existenz einer eindeutigen Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung x(0) = 1, x'(t) = sin(x(t)) t [mm] \in [/mm] [0,T] zeigen?
Ich weiß gar nicht, was mir die Aufgabenstellung sagen soll. Könnte mir vielleicht jemand helfen erstmal die Aufgabe zu verstehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo *chen
> Wie kann man die Existenz einer eindeutigen Lösung der
> gewöhnlichen Differentialgleichung x(0) = 1, x'(t) =
> sin(x(t)) t [mm]\in[/mm] [0,T] zeigen?
> Ich weiß gar nicht, was mir die Aufgabenstellung sagen
> soll. Könnte mir vielleicht jemand helfen erstmal die
> Aufgabe zu verstehen?
Also die Aufgabe sagt: durch den Punkt (0,1) geht GENAU EINE Lösung dieser Differentialgleichung.
Eine allgemeine Lösung finden ist hier nicht so schwer. dann den Anfangswert einsetzen und die Konstante bestimmen auch nicht. Damit ist die Existenz fertig. die Eindeutigkeit ist schwieriger. Habt ihr grade irgend nen "Fixpunktsatz" z. Bsp. den Banachschen Fixpunktsatz bewiesen? damit geht es.
Der allgemeine Beweis (statt sin(x(t)) f(x(t),t)) läuft unter dem Namen Piccard-Lindelöf ud du solltest ihn in jeden guten Analysisbuch in dem Dgl. drin sind finden!
Anfang: angenommen es gäbe 2 Lösungen mit x(0)=1 f1 und f2 . dann ist g=f1-f2 auch Lösung mit dem Anfangswert 0. Eine Lösung der Dgl. mit anfangswert 0 ist g=0. Jetzt musst du nur noch zeigen , dass die Lösung eindeutig ist. betrachte die Hilfsfunktion [mm] H=h^{2}=((g1(t))-g2(t))^{2}
[/mm]
(h^(2)'=2h*h' /le|h|*|h'|/le [mm] h^{2} [/mm] denn: |h'|=|sinf1-sinf2|<|h| wenn [mm] t<\pi/2 [/mm] oder besser noch [mm] t<\pi/4
[/mm]
H(0)=0 , H(t) [mm] \ge [/mm] 0 ; H'(t) -H(t) [mm] \le [/mm] 0 daraus folgt [mm] (H(t)*e^{-t})'=(H'(t)-H(t))*e^{-t} \le [/mm] 0 da [mm] e^{-t} [/mm] eine monotone pos fkt ist folgt damit H(t) [mm] \le [/mm] 0 also H(t)=0 q.e.d.
Gruss leduart
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Hmh, erstmal danke für die antwort. Werd mich damit noch ein wenig beschäftigen und es mir mitteils deiner Aufzeichnung erklären. Hab aber mal noch ne Frage dazu. Wir kann ich jetzt davon ausgehen eine hinreichende Bedingung an f für die Existenz einer Lösung folgender, allgemeiner Differnetialgleichung finden: x(0)=c , x'(t) = f(x(t)) [mm] t\in[0,\infty). [/mm] Ist das dann so ähnlich, oder ganz anders,w enn man es beweisen soll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das geht wirklich mit Picard Lindelöf und den will ich hier nicht aufschreiben, weil er überall steht! du musst für f Lipschitzstetigkeit vorraussetzen,das ist die hinreichende Bedingung und dann nur in kleinen Intervallen eine kontrahierende Abbildung finden. Aber da das in allen Büchern steht, find ich es unnötig, es hier einfach noch mal abzuschreiben.
Gruss leduart
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