Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 18.01.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich beschäftige mich aus reiner Neugier derzeit mit
kontinuierlichen Matrizen und da speziell mit deren
Eigenvektoren. Dabei stieß ich auf folgende Gleichung:
[mm] $\int\limits_{0}^1e^{vt}r(t)dt=r(v)$
[/mm]
Hat jemand eine Idee, wie ich sie mit MAPLE
(vorzugsweise symbolisch) nach r(v) lösen kann?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Im weiteren Verlauf würde ich gerne eine verallgemeinerte
Lösung erarbeiten, bei der ich "exp" durch "a^" ersetze.
Ich habe dieses Thema auf keinem anderen Forum
gestellt.
Ciao
Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Fr 25.01.2013 | | Autor: | uliweil |
Hallo Kai,
zunächst handelt es sich bei Deiner Gleichung nicht um eine Differentialgleichung, sondern um eine Integralgleichung, genauer eine homogene Fredholmsche Integralgleichung 2. Art (sofern man voraussetzt, dass eine auf [0,1] stetige Lösung r(v) gesucht wird). Allgemein sieht eine solche Fredholmsche Integralgleichung im 1-dimensionalen folgendermaßen aus:
y(x) - [mm] \lambda \integral_{a}^{b}{k(x,t) y(t)dt} [/mm] = f(x). Wenn f die Nullfunktion ist, dann ist die Gleichung homogen.
Dafür gibt es im Rahmen der Funktionanalysis Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen, deren Herleitung allerdings eine Menge Mathematik erfordert.
Dein Beispiel hat natürlich (da homogene Gleichung) die Lösung r [mm] \equiv [/mm] 0, also die Nullfunktion. Ob weitere Lösungen existieren, wäre mit den entsprechenden Eindeutigkeitsaussagen zu prüfen.
Maple wird Dir sicher bei der Lösung kaum weiterhelfen können.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 26.01.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Uli,
danke erstmal für deinen Tipp. Jetzt weiß ich wenigstens
womit ich es zu tun habe und wo ich gucken muss.
Wenn Maple mir bei der Lösung kaum weiterhelfen
können wird, tut es denn ein einschlägiges Buch
über Funktionalanalysis?
Gruß
Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Sa 26.01.2013 | | Autor: | uliweil |
Hallo Kai,
für die Theorie der Funktionalanalysis gibt es eine Vielzahl von Büchern und Vorlesungen; ich habe folgenden Link entdeckt:
http://www.math.kit.edu/iag1/lehre/integralglgen2010s/media/linigl.pdf
siehe Seite 19 unten.
Darüber hinaus gibt es auch ein Buch, das sich der praktischen Lösung von Integralgleichungen widmet:
[mm] http://www.amazon.com/gp/product/images/3827401135/ref=dp_image_0?ie=UTF8&n=283155&s=books
[/mm]
Es heißt "Handbuch der Integralgleichungen" und kostet bei Amazon 179 Dollar! Wahrscheinlich findest Du es zur Ausleihe in einer Universitätsbibliothek oder der Bibliothek eines mathematischen Instituts.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 So 27.01.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Uli,
ich habe das "Handbuch der Integralgleichungen"
für 57€ (wie neu) bei amazon.de bestellt. Das ist
sicher eine gute Investition.
Ich melde mich wieder, wenn es mir helfen konnte.
Und auch wenn nicht 
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 31.01.2013 | | Autor: | kaju35 |
Verehrter Uli,
im "Handbuch der Integralgleichungen" steht, dass
homogene Volterra-Gleichungen zweiter Art nur
die triviale Lösung haben. Wahrscheinlich gilt das
nun auch für entsprechende Fredholm-Gleichungen.
Das bedeutet wohl, dass $ [mm] \int\limits_{0}^1e^{vt}r(t)dt=r(v) [/mm] $
nur die triviale Lösung hat.
Ursprünglich sollte mir die Gleichung dabei dienen,
eine kontinuierliche Version der Van-der-Mondschen
Matrix aufzustellen.
Schade
Naja, immerhin bin ich soweit gekommen, dass ich die
Eigenfunktionen linearer Integralgleichungen zweiter
Art mit konstanten Integrationsgrenzen (mit Hilfe des
Buches) bestimmen kann
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Verehrter Uli,
>
> im "Handbuch der Integralgleichungen" steht, dass
> homogene Volterra-Gleichungen zweiter Art nur
> die triviale Lösung haben. Wahrscheinlich gilt das
> nun auch für entsprechende Fredholm-Gleichungen.
Nein, für die Fredholmsche Integralgleichung stimmt das nicht !
FRED
>
> Das bedeutet wohl, dass [mm]\int\limits_{0}^1e^{vt}r(t)dt=r(v)[/mm]
> nur die triviale Lösung hat.
>
> Ursprünglich sollte mir die Gleichung dabei dienen,
> eine kontinuierliche Version der Van-der-Mondschen
> Matrix aufzustellen.
>
> Schade
>
> Naja, immerhin bin ich soweit gekommen, dass ich die
> Eigenfunktionen linearer Integralgleichungen zweiter
> Art mit konstanten Integrationsgrenzen (mit Hilfe des
> Buches) bestimmen kann
>
> Kai
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Sa 02.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo FRED,
> > im "Handbuch der Integralgleichungen" steht, dass
> > homogene Volterra-Gleichungen zweiter Art nur
> > die triviale Lösung haben. Wahrscheinlich gilt das
> > nun auch für entsprechende Fredholm-Gleichungen.
>
> Nein, für die Fredholmsche Integralgleichung stimmt das
> nicht !
>
> FRED
>
Hast Du vielleicht einen konkreten Ansatz für den Kern
mit Exponentialfunktion : $ [mm] \int\limits_{0}^1e^{vt}r(t)dt=r(v) [/mm] $?
Das Bilden der Fredholmschen Minor / Determinante führt
auf schwierige Koeffizienten. Gibt es da ein anderes
symbolisches Lösungsverfahren?
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 09.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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