Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie die Di fferentialgleichung $ y'(x) = y(x)$ für $y : [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] diff erenzierbar.
Beweisen Sie, dass es ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, sodass $y(x) = [mm] ce^x$.
[/mm]
Verwenden Sie die Hilfsfunktion $h(x) := [mm] e^{-x}y(x)$
[/mm]
Danke für eure Hilfe |
Leider weis ich nicht wirklich wie ich vorzugehen habe. Denn
$y= [mm] e^x$ [/mm] oder $y= [mm] 2e^{x}$ [/mm] sind doch Lösungen der DGL
hmmm...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mo 30.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Betrachten Sie die Di fferentialgleichung [mm]y'(x) = y(x)[/mm]
> für [mm]y : \IR \rightarrow \IR[/mm] diff erenzierbar.
> Beweisen Sie, dass es ein [mm]c \in \IR[/mm] gibt, sodass [mm]y(x) = ce^x[/mm].
>
> Verwenden Sie die Hilfsfunktion [mm]h(x) := e^{-x}y(x)[/mm]
>
Hallo,
möglicherweise solltest du h'(x) berechnen. Durch die Produktregel bekommt man einen Term, in dem sowohl y als auch y' vorkommt. (Nur so 'ne Idee...)
Gruß Abakus
> Danke für eure Hilfe
> Leider weis ich nicht wirklich wie ich vorzugehen habe.
> Denn
>
> [mm]y= e^x[/mm] oder [mm]y= 2e^{x}[/mm] sind doch Lösungen der DGL
>
> hmmm...
|
|
|
| |
|
Danke für deine Hilfe
$ h(x) := [mm] e^{-x}y(x) [/mm] $
abgeleitet ergibt
$h'(x) = [mm] -e^{-x}y(x) [/mm] + [mm] e^{-x}y'(x)$
[/mm]
inwiefern sollte ich nun hier weitermachen?
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Hilfe
>
> [mm]h(x) := e^{-x}y(x)[/mm]
>
> abgeleitet ergibt
>
> [mm]h'(x) = -e^{-x}y(x) + e^{-x}y'(x)[/mm]
>
> inwiefern sollte ich nun hier weitermachen?
Hallo,
Du könntest nun feststellen, daß h'(x)=0 für alle [mm] x\in \IR,
[/mm]
und daraus solltest DuDeine Schlüsse ziehen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Mo 30.09.2013 | | Autor: | abakus |
> > Danke für deine Hilfe
> >
> > [mm]h(x) := e^{-x}y(x)[/mm]
> >
> > abgeleitet ergibt
> >
> > [mm]h'(x) = -e^{-x}y(x) + e^{-x}y'(x)[/mm]
> >
> > inwiefern sollte ich nun hier weitermachen?
>
> Hallo,
>
> Du könntest nun feststellen, daß h'(x)=0 für alle [mm]x\in \IR,[/mm]
>
> und daraus solltest DuDeine Schlüsse ziehen.
>
> LG Angela
Hallo Angela,
das ist ja toll. Ich hatte nur so eine Ahnung, ohne einen konkreten Plan. Aber so geht es wohl tatsächlich.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hey, danke für deine Hilfe
wie siehst du das h'(x) =0 für alle x [mm] \in \IR?
[/mm]
wenn ich umforme komme ich auf:
$ h'(x) = [mm] -e^{-x}y(x) [/mm] + [mm] e^{-x}y'(x) =e^{-x}(-y(x)+y'(x)) [/mm] $
aber auch hier sehe ich nicht wieso die Ableitung null ist..
Angenommen, dass wäre so dann gilt doch das die Ableitung bei jedem x [mm] \in \IR [/mm] die "Steigung" 0 hat. Das würde ja heißen, dass die Funktion der Ableitung eine Parallel zur x-Achse wäre und somit konstant ist. Wolltest du darauf hinaus?
mfg
Steffen
|
|
|
| |
|
Hallo,
> wie siehst du das h'(x) =0 für alle x [mm]\in \IR?[/mm]
>
> wenn ich umforme komme ich auf:
>
> [mm]h'(x) = -e^{-x}y(x) + e^{-x}y'(x) =e^{-x}(-y(x)+y'(x)) [/mm]
>
> aber auch hier sehe ich nicht wieso die Ableitung null
> ist..
Weil nach Aufgabenstellung y'(x)=y(x) ist. Immer mal wieder sollte auch die Aufgabenstellung gelesen und beachtet werden. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > wie siehst du das h'(x) =0 für alle x [mm]\in \IR?[/mm]
> >
> > wenn ich umforme komme ich auf:
> >
> > [mm]h'(x) = -e^{-x}y(x) + e^{-x}y'(x) =e^{-x}(-y(x)+y'(x))[/mm]
>
> >
> > aber auch hier sehe ich nicht wieso die Ableitung null
> > ist..
>
> Weil nach Aufgabenstellung y'(x)=y(x) ist. Immer mal wieder
> sollte auch die Aufgabenstellung gelesen und beachtet
> werden.
Ach mein Gott richtig, danke für den Tipp. Ansonsten passt meine restliche Argumentation?
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > wie siehst du das h'(x) =0 für alle x [mm]\in \IR?[/mm]
> > >
> > > wenn ich umforme komme ich auf:
> > >
> > > [mm]h'(x) = -e^{-x}y(x) + e^{-x}y'(x) =e^{-x}(-y(x)+y'(x))[/mm]
>
> >
> > >
> > > aber auch hier sehe ich nicht wieso die Ableitung
> null
> > > ist..
> >
> > Weil nach Aufgabenstellung y'(x)=y(x) ist. Immer mal wieder
> > sollte auch die Aufgabenstellung gelesen und beachtet
> > werden.
>
> Ach mein Gott richtig, danke für den Tipp. Ansonsten passt
> meine restliche Argumentation?
Meinst du:
[mm]h'(x)=0 \Rightarrow h(x)=const. [/mm]
?
Ja klar, was denn sonst?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
>
> Meinst du:
>
> [mm]h'(x)=0 \Rightarrow h(x)=const.[/mm]
ja genau und daher darf ich doch (wie in der Angabe verlangt) eine Konstante c [mm] \in \IR [/mm] hinzufügen. Da sie bei der Ableitung ja ohnehin wegfällt
>
> ?
>
> Ja klar, was denn sonst?
>
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
>
> >
> > Meinst du:
> >
> > [mm]h'(x)=0 \Rightarrow h(x)=const.[/mm]
>
> ja genau und daher darf ich doch (wie in der Angabe
> verlangt) eine Konstante c [mm]\in \IR[/mm] hinzufügen. Da sie bei
> der Ableitung ja ohnehin wegfällt
Hallo,
da wird keine Konstante "hinzugefügt".
Sondern es folgt, daß die Funktion h konstant ist.
Also:
h'(x)=0 für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
==>
es gibt ein [mm] c\in \IR [/mm] mit h(x)=c für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
|
