Differentialgleichung, Laplace < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Flyfly |
| Aufgabe | Gegeben ist das folgende Feder-Masse-System
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Finden Sie die Differentialgleichung für dieses System
b) Bestimmen Sie den Ausdruck für die Auslenkung x im Laplacebereich
c) Welche Antwort hat X(s), wenn F(s) ein Impuls ist. Bestimmen Sie eine Lösung im Laplace-Bereich
f(t) = [mm] \delta(t)
[/mm]
L(f(t)) = F(s) = 1 |
Hallo an alle.
Zunächst einmal möchte ich mich dafür entschuldigen, dass ich hier mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar komme. Ich habe hier die Lösungen, aber das ist wirklich das Ergebnis, nicht aber eine Erklärung oder Rechenweg. Und den hätte ich gerne von euch.
Lösung
[mm] a)$\sum [/mm] F = m *x'' [mm] \Rightarrow [/mm] m*x'' = F-K*x$
Also das fällt doch wirklich vom Himmel runter, oder?
b) [mm] m*s^2*X(s) [/mm] = F(S) - K*X(s) [mm] \Rightarrow [/mm] X(s) = [mm] \frac{F(s)}{m*s^2+K}
[/mm]
Wie kommt man auf [mm] m*s^2*X(s)? [/mm]
Ist das äquivalent zu m*x'' ?
c) X(s) = [mm] \frac{1}{m*s^2+K}
[/mm]
Das ist mir klar 
Kann mir jemand bei a oder b helfen?
Dankeschon mal
FlyFly
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Rene |
Hallo!
zu a) Nein, das fällt nicht vom Himmel, hierbei handelt es sich um den "Impulssatz" (analog zu Momenten -> Drallsatz). Man findet den Ausdruck auch unter dem begriff Prinzip von D'Alambert. Oder ganz einfach aber nicht ganz richtig Newton Axiom.
Kurz gesagt. Die Summe der auf einen Körper einwirkenden Kräfte beschleunigt ihn. Oder wie es bei D'Alambert heist, entgegen der Bewegung trägst du eine zusätzliche Kraft (Trägheit) an und stellst das Kräftegleichgewicht auf (hier [mm] F_T=m\ddot{x}[/mm]).
Alle auf deinen Körper wirkenden Kräft sind hier die Kraft F, sowie die Federkraft [mm]F_K=Kx[/mm]. Mit dem Kräftegleichgewicht erhälst du
[mm] F_T+F_K=F[/mm]
[mm]m\ddot{x}+Kx=F[/mm]
Noch eine Anmerkung am Rande. So wie du die Gleichunga aufgeschrieben hast, ist es nicht ganz korrekt, denn [mm] \ddot{x}\neq x''[/mm].
[mm]\ddot{x}=\frac{dx}{dt}[/mm] (Ableitung nach der Zeit)
[mm]x''=\frac{dx}{ds}[/mm] (Ableitung nach dem Weg)
zu b) Stichwort Differentiationssatz der Laplace Transformation (kannst du überall nachlesen). Kurz gesagt: "Eine Differentiation nach t im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation mit s im Laplace Bereich" (gilt exakt nur, wenn alle Anfangsbedingungen 0 sind). Allgemein lautet es:
[mm]\frac{d^n}{dt^n}x(t)=s^n X(s)-\sum_{k=0}^{n-1}{x^{(k)}(0-)s^{n-1-k}}[/mm]
[mm]x^{(k)}(0-)[/mm] ist hier die Anfangsbedingung der k-ten Ableitung.
Angewendet auf dein Beispiel (Annahme: alle AB=0)
[mm] m\ddot{x} \Rightarrow ms^2 X(s)[/mm]
[mm] Kx \Rightarrow K X(s)[/mm]
[mm] F \Rightarrow F(s)[/mm]
Ich denke jetzt sollten deine Fragen geklärt sein, falls nicht einfach nochmal melden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Flyfly |
Hallo Rene.
Wegen deiner Sau-guten-Antwort schäme ich mich jetzt richtig, dass ich mich jetzt erst melde. Lieben Dank für deine Antwort, mir ist dadurch fast alles klar geworden.
> Noch eine Anmerkung am Rande. So wie du die Gleichunga
> aufgeschrieben hast, ist es nicht ganz korrekt, denn
> [mm]\ddot{x}\neq x''[/mm].
> [mm]\ddot{x}=\frac{dx}{dt}[/mm] (Ableitung nach der Zeit)
> [mm]x''=\frac{dx}{ds}[/mm] (Ableitung nach dem Weg)
Danke für diesen Hinweis. Hätte mir sonst nichts dabei gedacht
> zu b)
Das ist mir alles klargeworden
> zu a) Nein, das fällt nicht vom Himmel, hierbei handelt es
> sich um den "Impulssatz" (analog zu Momenten -> Drallsatz).
> Man findet den Ausdruck auch unter dem begriff Prinzip von
> D'Alambert. Oder ganz einfach aber nicht ganz richtig
> Newton Axiom.
> Kurz gesagt. Die Summe der auf einen Körper einwirkenden
> Kräfte beschleunigt ihn. Oder wie es bei D'Alambert heist,
> entgegen der Bewegung trägst du eine zusätzliche Kraft
> (Trägheit) an und stellst das Kräftegleichgewicht auf (hier
> [mm]F_T=m\ddot{x}[/mm]).
So wie du das alles erzählst, ist das alles total verständlich und leuchtet ein, wie man dann aber andere Differenzialgleichungen zu ähnlichen Problem aufstellt, ist mir da aber überhaupt nicht klar. Z. B. die Sache mit der Beschleunigung bzw. zweiten Ableitung, da fehlt mir, denke ich, das Hintergrundwissen.
Ich hatte eigentlich gehofft, dass man das leicht aus der Zeichnung ablesen kann, aber das geht dann wohl doch nicht? Man muss also diese physikalischen Gesetze alle kennen?
Es grüßt ganz herzlich,
Flyfly
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