Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Di 05.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichungen:
a) x''(t)+4x'(t)+4x(t)=5
b) x''(t)+4x'(t)+4x(t)= exp(7t) |
Hallo Mathe-Forum,
Ich weiß nicht ob ich bei dieser Aufgabe richtig gerechnet habe, denn die spezielle Lösung der DGL ergibt 0.
Wäre diese Lösung richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut?
Ich habe die homogene Lösung der Differentialgleichung errechnet:
[mm] \lambda^2+4\lambda+4=0 [/mm]
[mm] \lambda=-2 [/mm] und die Vielfache
[mm] x_{0}(t)=c_{1}*exp(-2t)+c_{2}*exp(-2t)*t [/mm]
Bilden der Inversen Matrix G um c(t) zu errechnen:
G= [mm] \pmat{exp(-2t)& exp(-2t)*t\\ -2exp(-2t) & exp(-2t)-2texp(-2t) }
[/mm]
[mm] G^{-1}(t)= \bruch{1}{exp(4t)} \pmat{exp(-2t)-2texp(-2t)& -texp(-2t)\\ 2exp(-2t) & exp(-2t) }
[/mm]
[mm] c(t)=\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{exp(4t)} \pmat{exp(-2t)-2texp(-2t)& -texp(-2t)\\ 2exp(-2t) & exp(-2t) } *\vektor{0 \\ 5}dx} [/mm] = [mm] \pmat{ 5/6texp(-6t)-5/6t \\ -5/6exp(-6t)-5/6 }
[/mm]
Spezielle Lösung ( gamma1, gamma2) * c(t)
[mm] \gamma_{s}=( [/mm] exp(-2t), [mm] t*exp(-2t))*\pmat{ 5/6texp(-6t)-5/6t \\ -5/6exp(-6t)-5/6 }= [/mm] 0
Also wäre die allgemeine Lösung [mm] \gamma=c_{1}*exp(-2t)+c_{2}*exp(-2t)*t [/mm] +0
Gibt es eine Möglichkeit die Spezielle Lösung schneller zu "erkennen"?
Und ist die Vorgehensweise richtig, wenn man eine DGL hat mit einer Nullstelle und die Vielfachheit?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Mit freundlichen Grüßen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 05.08.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Sim22!
> Lösen Sie die Differentialgleichungen:
> a) x''(t)+4x'(t)+4x(t)=5
> b) x''(t)+4x'(t)+4x(t)= exp(7t)
> Hallo Mathe-Forum,
> Ich weiß nicht ob ich bei dieser Aufgabe richtig
> gerechnet habe, denn die spezielle Lösung der DGL ergibt
> 0.
> Wäre diese Lösung richtig oder habe ich irgendwo einen
> Fehler eingebaut?
>
> Ich habe die homogene Lösung der Differentialgleichung
> errechnet:
> [mm]\lambda^2+4\lambda+4=0[/mm]
> [mm]\lambda=-2[/mm] und die Vielfache
> [mm]x_{0}(t)=c_{1}*exp(-2t)+c_{2}*exp(-2t)*t[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bilden der Inversen Matrix G um c(t) zu errechnen:
> G= [mm]\pmat{exp(-2t)& exp(-2t)*t\\ -2exp(-2t) & exp(-2t)-2texp(-2t) }[/mm]
>
> [mm]G^{-1}(t)= \bruch{1}{exp(4t)} \pmat{exp(-2t)-2texp(-2t)& -texp(-2t)\\ 2exp(-2t) & exp(-2t) }[/mm]
>
> [mm]c(t)=\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{exp(4t)} \pmat{exp(-2t)-2texp(-2t)& -texp(-2t)\\ 2exp(-2t) & exp(-2t) } *\vektor{0 \\ 5}dx}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 5/6texp(-6t)-5/6t \\ -5/6exp(-6t)-5/6 }[/mm]
>
> Spezielle Lösung ( gamma1, gamma2) * c(t)
> [mm]\gamma_{s}=([/mm] exp(-2t), [mm]t*exp(-2t))*\pmat{ 5/6texp(-6t)-5/6t \\ -5/6exp(-6t)-5/6 }=[/mm]
> 0
>
> Also wäre die allgemeine Lösung
> [mm]\gamma=c_{1}*exp(-2t)+c_{2}*exp(-2t)*t[/mm] +0
Das kann doch gar nicht richtig sein. Diese allgemeine Lösung ist Dasselbe wie die homogene Lösung...
> Gibt es eine Möglichkeit die Spezielle Lösung schneller
> zu "erkennen"?
Du weißt ja schon, dass [mm]x_0(t)=c_1 e^{-2t}+c_2 e^{-2t}\cdot t[/mm] die DGL [mm]x''+4x'+4x=0[/mm] löst. Damit da auf der rechten Seite 5 rauskommt, brauchst du einen Term, der beim Ableiten verschwindet und der [mm]4x=5[/mm] löst. Die allgemeine Lösung lautet also [mm]x(t)=x_0(t)+\frac 54[/mm].
> Und ist die Vorgehensweise richtig, wenn man eine DGL hat
> mit einer Nullstelle und die Vielfachheit?
>
> Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
> Mit freundlichen Grüßen!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Di 05.08.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Wäre diese Lösung richtig oder habe ich irgendwo einen
> Fehler eingebaut?
>
> Ich habe die homogene Lösung der Differentialgleichung
> errechnet:
> [mm]\lambda^2+4\lambda+4=0[/mm]
> [mm]\lambda=-2[/mm] und die Vielfache
> [mm]x_{0}(t)=c_{1}*exp(-2t)+c_{2}*exp(-2t)*t[/mm]
> Bilden der Inversen Matrix G um c(t) zu errechnen:
> G= [mm]\pmat{exp(-2t)& exp(-2t)*t\\ -2exp(-2t) & exp(-2t)-2texp(-2t) }[/mm]
>
> [mm]G^{-1}(t)= \bruch{1}{exp(4t)} \pmat{exp(-2t)-2texp(-2t)& -texp(-2t)\\ 2exp(-2t) & exp(-2t) }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier muss es im Nenner exp(-4t) heißen. Wenn du damit weiterrechnest, kommst du auch auf die richtige Lösung.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 05.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für deine schnelle und hilfreiche Antwort!
Nun habe ich eine ähnliche Aufgabe gerechnet:
x''(t)+4x'(t)*4x(t)=exp(2t)
und komme bei dieser Aufgaben auf folgendes Ergebnis (ohne Anfangsbedingungen):
[mm] x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)-\bruch{1}{16}exp(-2t)-\bruch{(4t-1)exp(2t)}{16}-\bruch{1}{4}texp(2t)+\bruch{1}{4}t*exp(-2t)
[/mm]
Homogene Lösung [mm] x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)
[/mm]
Spezielle Lösung [mm] x(t)=-\bruch{1}{16}exp(-2t)-\bruch{(4t-1)exp(2t)}{16}-\bruch{1}{4}texp(2t)+\bruch{1}{4}t*exp(-2t)
[/mm]
Wenn ich diese Aufgabe im Internet überprüfe kommt dort folgendes raus:
[mm] x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)+\bruch{exp(2t)}{16}
[/mm]
Ist meine Lösung falsch oder werden die einzelnen Terme der speziellen Lösung zusammengefasst mit den Konstanten der homogenen Lösung unter c1 und c2?
Ich würde mich über eine Antwort freuen.
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Hallo Sim22,
> Danke für deine schnelle und hilfreiche Antwort!
>
> Nun habe ich eine ähnliche Aufgabe gerechnet:
> x''(t)+4x'(t)*4x(t)=exp(2t)
> und komme bei dieser Aufgaben auf folgendes Ergebnis (ohne
> Anfangsbedingungen):
>
> [mm]x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)-\bruch{1}{16}exp(-2t)-\bruch{(4t-1)exp(2t)}{16}-\bruch{1}{4}texp(2t)+\bruch{1}{4}t*exp(-2t)[/mm]
>
> Homogene Lösung [mm]x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)[/mm]
> Spezielle Lösung
> [mm]x(t)=-\bruch{1}{16}exp(-2t)-\bruch{(4t-1)exp(2t)}{16}-\bruch{1}{4}texp(2t)+\bruch{1}{4}t*exp(-2t)[/mm]
>
Um die spezielle Lösung auf Deine Lösung zurückzuführen,
muss diese lauten:
[mm]x(t)=-\bruch{1}{16}exp(-2t)-\bruch{(4t-1)exp(2t)}{16}\blue{+}\bruch{1}{4}texp(2t)+\bruch{1}{4}t*exp(-2t)[/mm]
> Wenn ich diese Aufgabe im Internet überprüfe kommt dort
> folgendes raus:
> [mm]x(t)=c_{1}exp(-2t)+c_{2}texp(-2t)+\bruch{exp(2t)}{16}[/mm]
> Ist meine Lösung falsch oder werden die einzelnen Terme
> der speziellen Lösung zusammengefasst mit den Konstanten
> der homogenen Lösung unter c1 und c2?
>
> Ich würde mich über eine Antwort freuen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 05.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Vielen Dank!
Ich hatte einen Vorzeichenfehler bei der Berechnung der Inversen, dementsprechend habe ich nun die von Ihnen aufgeführte Form der speziellen Lösung.
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