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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung lösen
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Differentialgleichung lösen: Tipp, Rückfrage, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 So 21.01.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die allg. Lösung der Differentialgleichung

[mm] y`(x)+4xy(x)=xe^{-x^2} [/mm]

Hallo,

bei der o.g. Aufgabe bin ich mir nicht sicher, welche Lösungsmethode anzuwenden ist!?

Könnt ihr mir da auf die Sprünge helfen und ggf. auch einmal erklären, woran man erkennen kann, wann man welche Methode anwenden muss?

Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 So 21.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme die allg. Lösung der Differentialgleichung

>

> [mm]y'(x)+4xy(x)=xe^{-x^2}[/mm]
> Hallo,

>

> bei der o.g. Aufgabe bin ich mir nicht sicher, welche
> Lösungsmethode anzuwenden ist!?

Ich habe sie gerade innerhalb von 2, 3 Minuten mittels Ermitteln der Lösung der homogenen DGL (per TDV) und anschließender Variation der Konstanten gelöst.

> Könnt ihr mir da auf die Sprünge helfen und ggf. auch
> einmal erklären, woran man erkennen kann, wann man welche
> Methode anwenden muss?

Das ist ein weites Feld, da solltest du eher ein Lehrbuch befragen. Es gibt ein paar einfache Typen von Differenzialgleichungen, bei denen man sich (bis auf die eigentliche Integration, also die Frage, ob diese geschlossen möglich ist) sicher sein kann, sie mit einer bestimmten Methode zu lösen.

Die vorliegende DGL ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung. Damit weiß man schon einmal, dass man die zugehörige homogene DGL per Trennung der Variablen lösen kann. Danach bietet sich bei DGLen 1. Ordnung die Variation der Konstanten an, das ist aber auch ein Stück weit Geschmack- bzw. Gewohnheitssache.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mo 22.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Für die allgemeine Lösung [mm] y_{h} [/mm] der homogenen DGL habe ich nun [mm] y_{h} [/mm] = [mm] c*e^{-2x^2} [/mm] raus.

Bei der speziellen Lösung [mm] y_{s} [/mm] der inhomogenen DGL komme ich momentan an folgender Stelle nicht mehr weiter:

ln|y| = [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-x^2}-2x^2+C [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier genau vorgehen muss, um nur y zu erhalten!? Bin ich mit meiner bisherigen Lösung überhaupt auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 22.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> vielen Dank für die schnelle Antwort!

>

> Für die allgemeine Lösung [mm]y_{h}[/mm] der homogenen DGL habe
> ich nun [mm]y_{h}[/mm] = [mm]c*e^{-2x^2}[/mm] raus.

Ja, das passt. [ok]

> Bei der speziellen Lösung [mm]y_{s}[/mm] der inhomogenen DGL komme
> ich momentan an folgender Stelle nicht mehr weiter:

>

> ln|y| = [mm]-\bruch{1}{2}*e^{-x^2}-2x^2+C[/mm]

>

> Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier genau vorgehen muss,
> um nur y zu erhalten!? Bin ich mit meiner bisherigen
> Lösung überhaupt auf dem richtigen Weg?

Da muss dir irgendwo ein Rechenfehler unterlaufen sein (ich weiß auch gar nicht, wo hier der Logarithmus herkommt?).

Mit [mm] y=C*e^{-2x^2} [/mm]

bekommt man

[mm] y'=C'*e^{-2x^2}-4x*C*e^{-2x^2} [/mm]

Wenn man damit in die allg. DGL eingeht, führt das letztendlich auf die Gleichung

[mm] C'=x*e^{x^2} [/mm]

Rechne es nach und integriere dann obige Gleichung per Substitution.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Do 25.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

nun hat alles so funktioniert, wie es sollte - hatte mich zwischendrin etwas verrannt.

Vielen Dank

Bezug
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