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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Do 09.09.2010 | | Autor: | delm |
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen folgender AWP:
a) y' = [mm] #e(x)*y^2, [/mm] y(0) = 1
b) y' = [mm] #e(x)*y^2, [/mm] y(0) = 0 |
Hallo zusammen,
wollte mich für die Richtigkeit meiner Lösung erkundigen...
Kritik ist also erwünscht!
Diese DGL lässt sich durch das Verfahren Trennung der Variablen lösen. Man erhält:
[mm] \integral{y^{-2} dy} [/mm] = [mm] \integral{#e^x dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{1}{-c-#e^x}
[/mm]
Mit y(0) = 1 erhält man c = -2
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{1}{2-#e^x}
[/mm]
Der Definitionsbereich wird gebildet durch D = [mm] (-\infty, [/mm] ln(2)) [mm] \cup (ln(2),\infty)
[/mm]
Da y' = [mm] \bruch{#e^x}{(2-#e^x)^2} [/mm] stetig ist, folgt das y lokal Lipschitzstetig ist. Somit gilt nach dem Satz von Picard-Lindelöf, dass die Lsg eindeutig bestimmt ist.
Bei b) erhält man mit dem AWP y(0) = 0 eine unendliche Menge von Lösungen.
Reicht diese Antwort aus?
Gruß,
delm
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo delm,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme alle Lösungen folgender AWP:
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> a) y' = [mm]#e(x)*y^2,[/mm] y(0) = 1
> b) y' = [mm]#e(x)*y^2,[/mm] y(0) = 0
> Hallo zusammen,
>
> wollte mich für die Richtigkeit meiner Lösung
> erkundigen...
> Kritik ist also erwünscht!
>
> Diese DGL lässt sich durch das Verfahren Trennung der
> Variablen lösen. Man erhält:
>
> [mm]\integral{y^{-2} dy}[/mm] = [mm]\integral{#e^x dx}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y =
> [mm]\bruch{1}{-c-#e^x}[/mm]
>
> Mit y(0) = 1 erhält man c = -2
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{1}{2-#e^x}[/mm]
>
> Der Definitionsbereich wird gebildet durch D = [mm](-\infty,[/mm]
> ln(2)) [mm]\cup (ln(2),\infty)[/mm]
>
> Da y' = [mm]\bruch{#e^x}{(2-#e^x)^2}[/mm] stetig ist, folgt das y
> lokal Lipschitzstetig ist. Somit gilt nach dem Satz von
> Picard-Lindelöf, dass die Lsg eindeutig bestimmt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei b) erhält man mit dem AWP y(0) = 0 eine unendliche
> Menge von Lösungen.
>
Nein.
Für die Anfangsbedingung y(0)=0 gibt es auch eine Lösung.
>
> Reicht diese Antwort aus?
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> Gruß,
> delm
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 09.09.2010 | | Autor: | delm |
Die stationäre Lösung y [mm] \equiv [/mm] 0 ?
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Hallo delm,
> Die stationäre Lösung y [mm]\equiv[/mm] 0 ?
Ja, die tut's prima, bedenke, dass du bei deiner Rechnung oben durch [mm] $y^2$ [/mm] geteilt hast, was nur für [mm] $y\neq [/mm] 0$ erlaubt ist.
Daher fiel $y=0$ im ersten Fall raus, erfüllt aber 2.
Gruß
schachuzipus
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