Differentialgleichungen allg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi! Ob die Differentialgleichung jetzt gewöhnlich ist, oder nicht (aber ich tippe mal auf "nicht gewöhnlich"), weiß ich nicht, deswegen poste ich einfach mal hier.
Außerdem hätte ich ein paar Grundlegende Fragen:
1. Man kann nicht alle Differentialgleichungen explizit lösen, oder?
2. Kennt ihr eine gute Seite mit Einführungen in das Thema? Also neben Wikipedia ;)
Nun zu meiner Gleichung: $f'(x)+f(x)cosx=1$ bzw. (wie ich es öfter sehe) $y'+y*cosx=1$
Mir persönlich fällt dazu keine Lösung der Form y=f(x) ein, liegt eventuell auch daran, dass ich nur weiß, dass es solche Gleichungen gibt und nicht viele Lösungsmethoden kenne.
Ich kenne nur ein paar Lösungen zu Sachen wie f'(x)=k(G-f(x)), was einfach nur die Ausgangsformel sein müsste, um eine allgemeine Formel für beschränktes Wachtum zu finden.
Zumindest nehme ich an, dass das eine Differentialgleichung ist, auch wenn's im Schulbuch nicht explizit da steht.
Aber na ja, sonst habe ich da keine Ahnung von ;) hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann! Und wenn das mit dem Lösungsfinden zu kompliziert ist (nein, ich durfte noch keine Uniluft schnuppern), dann macht euch nicht die Mühe :) Dann warte ich noch die paar Jahre.
|
|
| |
|
Danke für die sehr verbindliche Anfrage. Nun ein paar Informationen
zu gewöhnlichen Differentialgleichungen
(ordinary differential eq., kurz ode):
1. Nicht jede ode hat eine Lösung. Da die ode allein ein Problem oft
nicht genügend spezifiziert, sind Anfangs und Randbedingungen
nötig (Anfangsgeschw, Anfangsbeschl. in der Dynamik) oder
Randbedingungen (eingespannter Balken).
2. Die Lösung ist im allgemeinen auch nicht immer eindeutig
bestimmt (2 oder mehr sind möglich). Unter bestimmten
Differenzierbarkeitsvoraussetzungen gibt es aber
genau eine Lösung (Satz von Picard und Lindelöff).
3. Die Geschichte der ode ist alt und geht bis auf Newton
zurück. In den mehr als 300 Jahren haben sich eine
Menge mathematischer Schweinetricks zur Lösung
spezieller Gleichungen finden lassen.
4. Im Internet gibt es massig Vorlesungen über ode.
Ich empfehle aber die alte Dino-Methode. Ein Buch.
Empfehlung: Kamke, Gewöhnliche Differentialgleichungen
oder Englisch Coddington-Levinson
5. Zu Deiner Frage: Dein Beispiel kann mit klassischen
Methoden gelöst werden, und zwar so:
y' + y cos(x) = 1 umschreiben zu (dy/dx) = -y * cos(x) +1.
1. Schritt: Lösung der homogenen Gleichung
(dy/dx) = -y * cos(x) (die heißt so weil die 1 weggelassen wird,
dh in der Ausgangsgleichung wird die rechte Seite Null gesetzt).
Mann bringt alle y auf eine, alle x auf die andere Seite.
Das nennt man Trennung der Variablen und das konnte
schon der alte Newton:
(dy/y) = - cos(x) dx. Nun integriert man und erhält
ln(y) = -sin(x) + C. Daher y(x) = [mm] y_0(x) [/mm] = D*e^(-sin x) mit D = [mm] e^C
[/mm]
Man sieht für diese Gleichung (die homogene) gibt es
unendlich viele Lösungen (für jedes C bzw. D eine).
Man kann das durch Differenzieren überprüfen.
2. Schritt: Auffinden einer Lösung der inhomogenen
Gleichung mit der Methode von D'Alambert, dem
Brieffreund des alten Fritz, des Großen (Variation
der Konstanten). Hier tut man jetzt so, als ob die
Konstante D eine Funktion wäre: D = D(x).
Man betrachtet jetzt y(x) = D(x)*e^(-sin x) und
differenziert nach der Produktregel, um zu erhalten:
y' = D'e^(-sin x) + D e^(-sin x) * ( - cos x) =
-y cos x + 1 = -D e^(-sin x) cos x + 1
(da eine Lösung das gerade tun muss!)
Ein Vergleich der Glieder in den Gleichungen liefert
D' e^(-sin x) = 1 oder D' (x) = e^(sin(x) ).
3. Wir integrieren jetzt D'. Leider fand ich keine
geschlossene Form dieses Integrals in Kürze der Zeit.
Ich vermute aber eine explizite Stammfunktion ist
nicht zu finden. Trotzdem folgt jetzt
D(x) = [mm] \int_0^x [/mm] e^(sin t) dt +C
und als spezielle Lösung Deiner Gleichung hat man:
y(x) = [mm] y_s(x) [/mm] = e^(- sin x) * [mm] [\int_0^x [/mm] e^(sin t) dt + C]
4. Man addiert nun die homogene und spezielle
Lösung:
y(x) = [mm] y_0(x) [/mm] + [mm] y_s(x) [/mm] =
D e^(-sin x) + e^(- sin x) * [mm] [\int_0^x [/mm] e^(sin t) dt + C] =
F e^(-sin x) + e^(- sin x) * [mm] [\int_0^x [/mm] e^(sin t) dt].
Auch hier gibt es unendlich viele Lösungen.
Fordert man nun y(0) = a, so folgt F = a
und man hat genau eine Lösung. Ist a= 0
so ist y = 0.
Die Begründung für Schritt 4 erfolgt durch Nachrechnen.
Das wäre es so in aller Kürze.
Lieber Grüße der Schlunzbuns
PS: Und nicht frustriert sein, wegen der Uniluft.
Nur das hart erarbeitete Wissen ist das Gute ....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Danke für die ausführliche Antwort erstmal ;) Wie man darauf kommt ist natürlich wieder eine ganz andere Sache, aber ich kann es erst einmal nachvollziehen.
Genau, diese Gleichung stammte auch vom dem Problem, eine Stammfunktion von [mm] f(x)=e^{sinx} [/mm] zu finden. Bin da auch von [mm] F(x)=g(x)e^{sinx} [/mm] ausgegangen.
[mm] F'(x)=f(x)=g'(x)e^{sinx}+g(x)*e^{sinx}*cosx=e^{sinx}\underbrace{(g'(x)+g(x)cosx)}_{=1}, [/mm] woraus dann mein Problem resultierte.
Aber wie ich sehe, wird das dadurch auch nicht einfacher zu lösen. Auf alle Fälle vielen Dank ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
|
