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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Sa 26.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme ein Fundamentalsystem von Lösungen des Differentialgleichungs-Systems
y' = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1}*y [/mm] |
Zuerst habe ich die Eigenvektoren und Eigenwerte berechnet.
Als Eigenwert habe ich aber nur [mm] \lambda [/mm] = 1 erhalten, und der zugehörige Eigenvektor ist v = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Also erhalte ich als Lösung y(x) = [mm] e^{\lambda * x} [/mm] * v = [mm] e^x [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{e^x \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Ist dies korrekt? Und gibt es noch andere Lösungen?
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Hallo jokerose,
> Bestimme ein Fundamentalsystem von Lösungen des
> Differentialgleichungs-Systems
> y' = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1}*y[/mm]
> Zuerst
> habe ich die Eigenvektoren und Eigenwerte berechnet.
> Als Eigenwert habe ich aber nur [mm]\lambda[/mm] = 1 erhalten, und
> der zugehörige Eigenvektor ist v = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
Das ist auch richtig, da es sich bei [mm]\lamdba=1[/mm] um einen 3-fachen Eigenwert handelt.
>
> Also erhalte ich als Lösung y(x) = [mm]e^{\lambda * x}[/mm] * v =
> [mm]e^x[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{e^x \\ 0 \\ 0}.[/mm]
Das ist nur eine Lösung.
>
> Ist dies korrekt? Und gibt es noch andere Lösungen?
Du kannst hier die Lösungen einfacher ermitteln. Indem zuerst
[mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
löst.
Danach
[mm]y_{2}'=y_{2}+2*y_{3}[/mm]
Und schliesslich
[mm]y_{1}'=y_{1}+2*y_{2}+3*y_{3}[/mm]
löst.
Zusammenfassen und dann hast Du die allgemeine Lösung.
Natürlich kannst Du das auch über die Eigenvektoren machen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 27.07.2008 | | Autor: | jokerose |
also, nun habe ich folgende Lösung erhalten:
y(x) = [mm] c_1 [/mm] * [mm] \vektor{ 3xe^x + 2x^2e^x \\ 2xe^x \\ e^x} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * [mm] \vektor{2xe^x \\ e^x \\ 0} [/mm] + [mm] c_3 [/mm] * [mm] \vektor{e^x \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ist dies korrekt?
>
> Natürlich kannst Du das auch über die Eigenvektoren
> machen.
>
Wie könnte dies dann über die Eigenvektoren berechnet werden?
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Hallo jokerose,
> also, nun habe ich folgende Lösung erhalten:
>
> y(x) = [mm]c_1[/mm] * [mm]\vektor{ 3xe^x + 2x^2e^x \\ 2xe^x \\ e^x}[/mm] +
> [mm]c_2[/mm] * [mm]\vektor{2xe^x \\ e^x \\ 0}[/mm] + [mm]c_3[/mm] * [mm]\vektor{e^x \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Ist dies korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> >
> > Natürlich kannst Du das auch über die Eigenvektoren
> > machen.
> >
>
> Wie könnte dies dann über die Eigenvektoren berechnet
> werden?
>
>
Die Idee, die dahinter steckt ist folgende:
Gegeben ist das DGL-System [mm]y'=A*y[/mm] mit [mm]y=\pmat{y_{1} \\ \dots \\ y_{n}}[/mm].
Gesucht ist nun eine Matrix T, die dieses System in ein einfacheres überführt.
Diese Matrix T ist eine Matrix, die dann aus Eigenvektoren besteht.
Da der Lösungsraum des LGS [mm]\left(A-I\right)*x=0[/mm] eindimensional ist, fehlen also noch 2 Eigenvektoren.
Stellst Du fest, daß die Matrix [mm]A_{1}:=A-I[/mm] nilpotent vom Grad k ist, ([mm]A_{1}^{0}=I, \ A_{1} \not= 0, \ \dots \ , A_{1}^{k-1} \not= 0, \ A_{1}^{k}=0[/mm]), dann geht das so:
Wählt man einen Vektor v aus Kern[mm]\left(A_{1}^{k}\right)[/mm], der nicht in
Kern[mm]\left(A_{1}^{l}\right), 0 < l < k[/mm] liegt, dann ist eine Basis gegeben durch:
[mm]T:=\left(v, \ A_{1}v, \ \dots , \A_{1}^{k-1}v\right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann, das neue System:
[mm]y'=T*\tilde{y}'=A*T*\tilde{y}=A*y[/mm]
[mm]\gdw \tilde{y}'=\left(T^{-1}*A*T\right)*\tilde{y}[/mm]
Daher ist dieses System zu lösen und dann entsprechend zurückzutransformieren.
Gruß
MathePower
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