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| Aufgabe | Gegeben ist das Differentialgleichungssystem [mm] x\dot=Ax [/mm] mit
A= [mm] \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 2&3&-4\\0&1&0 \end{pmatrix}
[/mm]
Man zeige, dass [mm] \lambda=1 [/mm] ein Eigenwert von A ist, berechne ein Funamentalsystem und gebe damit die allgemeine Lösung von [mm] x\dot=Ax [/mm] an. |
Hallo Leute,
ich bräuchte nochmal Hilfe bei einer Aufgabe aus dem Bereich der Differentialgleichungen, speziell Fundamentalsysteme.
Ich habe den ersten Teil der Aufgabe jetzt erledigt mit dem charakteristischen Polynom und der Polynomdivision komme ich auf folgende Eigenwerte:
[mm] \lambda_1=1 \quad \lambda_2=i \quad \lambda_3=-i
[/mm]
Soweit kannte ich das noch aus der linearen Algebra, aber wie komme ich jetzt auf das Fundamentalsystem?
Ich konnte darüber nur wenig hinreichende Informationen im Internet finden. Bis jetzt ist mir nur bekannt, dass die Menge linear unabhängiger Lösungen einer DGL als Fundamentalsystem bezeichnet wird.
Vielen Dank und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 So 21.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich gibt es im Netz genügend skripte , aber der nächst Schritt sind die Eigenvektoren bestimmen
Gruss leduart
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Ich habe das mal probiert, aber irgendwie weiß ich nicht so genau wie das mit dem Eigenvektoren klappt, denn z.B.
für [mm] \lambda=1 [/mm]
komme ich ja auf die Matrix
$ [mm] \begin{pmatrix} -1&0&1\\ 2&2&-4\\0&1&-1 \end{pmatrix} [/mm] $
und wenn ich die jetzt versuche zu lösen komme ich auf
[mm] -\frac{3}{4}x_3=0 [/mm] und [mm] 4x_2=0 [/mm] und dann auch [mm] -x_1=0
[/mm]
Ich denke nicht, dass ich der Eigenvektor nur Nullen besitzt und ich habe gelernt,dass mein ein Parameter wie [mm] \alpha [/mm] nur einführen darf, wenn eine Spalte gar nicht vorhanden ist z.B. alle [mm] x_1=0 [/mm] in der Matrix.
Wie kann ich also vorgehen?
Vielen Dank im Voraus und Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 21.07.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe das mal probiert, aber irgendwie weiß ich nicht
> so genau wie das mit dem Eigenvektoren klappt, denn z.B.
>
> für [mm]\lambda=1[/mm]
>
> komme ich ja auf die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix} -1&0&1\\ 2&2&-4\\0&1&-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und wenn ich die jetzt versuche zu lösen komme ich auf
> [mm]-\frac{3}{4}x_3=0[/mm] und [mm]4x_2=0[/mm] und dann auch [mm]-x_1=0[/mm]
Du solltest schon aufschreiben, was du gerechnet hast, denn das kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.
Aus der ersten Zeile der Matrix ergibt sich [mm] $x_1=x_3$ [/mm] und aus der dritten [mm] $x_2=x_3$, [/mm] daher ist
[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm]
ein Eigenvektor.
Viele Grüße
Rainer
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Entschuldige  das vergisst man schnell.
Ich dachte ich müsste das in Zeilenstufenform irgendwie bringen und dann lösen, aber so geht es natürlich viel einfacher. Das habe ich gar nicht entdeckt.
Bei den komplexen Eigenwerten weiß ich jetzt nicht so wirklich wie ich das lösen kann.
Ich schreibe es mal erstmal auf:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1+i&0&1\\ 2&4+i&-4\\0&1&1+i \end{pmatrix} [/mm] $
Wenn ich da jetzt wieder ein Gleichungssystem aufstelle mit
[mm] (1+i)x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_3+(4+i)x_2-4x_3=0
[/mm]
[mm] x_2+(1+i)x_3=0
[/mm]
Wie kann ich da auf den Eigenvektor kommen?
Die komplexen Zahlen bereiten mir etwas Probleme.
Soll ich die 1. und 3. Zeile jeweils nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] umstellen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mtr_studi,
> Entschuldige das vergisst man schnell.
>
> Ich dachte ich müsste das in Zeilenstufenform irgendwie
> bringen und dann lösen, aber so geht es natürlich viel
> einfacher. Das habe ich gar nicht entdeckt.
>
> Bei den komplexen Eigenwerten weiß ich jetzt nicht so
> wirklich wie ich das lösen kann.
>
> Ich schreibe es mal erstmal auf:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1+i&0&1\\ 2&4+i&-4\\0&1&1+i \end{pmatrix}[/mm]
>
Offenbar hast Du hier [mm]A-\lambda*E[/mm] gerechnet.
Die eingangs berechneten EWe sind zu korrigieren.
Dann sind die Diagonalelemente ebenfalls zu korrigieren.
>
> Wenn ich da jetzt wieder ein Gleichungssystem aufstelle mit
> [mm](1+i)x_1+x_3=0[/mm]
> [mm]2x_3+(4+i)x_2-4x_3=0[/mm]
> [mm]x_2+(1+i)x_3=0[/mm]
>
> Wie kann ich da auf den Eigenvektor kommen?
>
> Die komplexen Zahlen bereiten mir etwas Probleme.
>
> Soll ich die 1. und 3. Zeile jeweils nach [mm]x_3[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> umstellen?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
Gruss
MathePower
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>
> Offenbar hast Du hier [mm]A-\lambda*E[/mm] gerechnet.
> Die eingangs berechneten EWe sind zu korrigieren.
> Dann sind die Diagonalelemente ebenfalls zu korrigieren.
>
Inwiefern korrigieren und wieso?
Deine Antworten sind immer so knapp gehalten, dass ich nie wirklich folgen kann. :-(
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mtr-studi,
>
> >
> > Offenbar hast Du hier [mm]A-\lambda*E[/mm] gerechnet.
> > Die eingangs berechneten EWe sind zu korrigieren.
> > Dann sind die Diagonalelemente ebenfalls zu
> korrigieren.
> >
> Inwiefern korrigieren und wieso?
>
Die berechneten komplexen Eigenwerte stimmen nicht.
> Deine Antworten sind immer so knapp gehalten, dass ich nie
> wirklich folgen kann. :-(
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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Ich hatte in dem ersten Post tatsächlich die Eigenwerte falsch von meinem Zettel abgeschrieben.
Sie lauten natürlich [mm] \lambda_2=1+i [/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} -1-i&0&1\\ 2&2-i&-4\\0&1&-1-i \end{pmatrix} [/mm] $
und [mm] \lambda_3=1-i [/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} -1+i&0&1\\ 2&2+i&-4\\0&1&-1+i \end{pmatrix} [/mm] $
Wie kann man hier weiter zu den Eigenvektoren kommen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 21.07.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
mit den komplexen Werten rechnest du genau wie mit den reellen
Gruss leduart
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Ok das verstehe ich nicht.
Ich habe das probiert und auch mal im Internet nachgeschaut,welche Eigenwerte da rauskommen sollen, aber komme einfach nicht darauf.
Also Gleichungssystem zu [mm] \lambda_2=1+i
[/mm]
[mm] (-1-i)x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+(2-1)x_2-4x_3=0
[/mm]
[mm] x_2+(-1-i)x_3=0
[/mm]
Also dann
[mm] -x_1-ix_1+x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_2-ix_2-4x_3=0
[/mm]
[mm] x_2-x_3_-ix_3=0
[/mm]
Vielleicht ist das für euch sehr einfach zu lösen, aber mir fällt das sehr schwer. :-(
Ich habe doch jetzt in jeder Gleichung immer noch ein jeweils anderes x stehen, wie kann ich das also lösen?
Wenn ich jetzt z.B.
sage aus der ersten Zeile [mm] x_3=x_1+ix_1 [/mm] oder [mm] x_3=x_1(1+i)
[/mm]
und aus der 3. Zeile [mm] x_2=x_3+ix_3 [/mm] oder [mm] x_2=x_3(1+i) [/mm]
Wenn ich das jetzt z.B. einsetzen also [mm] x_3 [/mm] aus der ersten Zeile in die 3. Zeile bringt mich das auch nicht weiter.
Wie kann ich weiterkommen? Ich verstehe das einfach nicht :-(
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 22.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du rechnest doch ( [mm] A-\lambda*I)*x=0
[/mm]
deine erste Zeile also :
[mm] -1-(1+i)*x_1+0*x_2 +x_3=0
[/mm]
also [mm] -ix_1+x_3=0; x_3=ix_1; [/mm] in die 2 te Zeile einsetzen (aber die richtige) ergibt [mm] x_2 [/mm] in Abh von x1. setzt [mm] x_1=r [/mm] und du hast die Eigenvektoren.
dann mit der dritten Zeile das Ergebnis überprüfen (falls es nicht stimmt hast du wie hier das falsche GS versucht zu lösen, oder keinen Eigenwert!
(mit einem vektor v der EV ist ist immer auch r*v Eigenvektor (warum?)
also stell erstmal das richtige GS auf!
Gruss leduart
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Da die Ausgangsmatrix
$ [mm] \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 2&3&-4\\0&1&0 \end{pmatrix} [/mm] $
war denke ich nicht, dass das richtig ist.
Denn [mm] A-\lambda*E [/mm] ist für mich
$ [mm] \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 2&3&-4\\0&1&0 \end{pmatrix} [/mm] $ -$ [mm] \begin{pmatrix} i+1&0&0\\ 0&i+1&0\\0&0&i+1 \end{pmatrix} [/mm] $=$ [mm] \begin{pmatrix} -1-i&0&1\\ 2&2-i&-4\\0&1&-1-i \end{pmatrix} [/mm] $
Oder wie sollte ich das verstehen?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 22.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hatte die matrix aus deinem 2 ten post- war dumm
also jetzt aus 1. Z [mm] x_1=1/(i+1)x_3=1/2*(1-i)x_3
[/mm]
aus 3. Z [mm] x_2=(1+i)x_3
[/mm]
eingesetzt in 2. Z 0=0
also ein EV [mm] Vektor{1-i\\ 1+i\\ 2} [/mm] und natürlich alle vielfache davon.
Entsprechend kannst du hoffentlich mt dem 2 ten GS umgehen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Di 23.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ich hab es jetzt einigermaßen hinbekommen, vielen Dank!
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Ich habe das nicht verstanden wie man das so angeben kann dann als Vektor, also habe ichs mit Parameter gemacht.
[mm] x_3=\alpha
[/mm]
und dann
aus der ersten Zeile [mm] x_1=\frac{\alpha-\alpha i}{2}
[/mm]
und aus der dritten [mm] x_2=\alpha-\alpha [/mm] i
Würde ich dann den Vektor so angeben [mm] \vec v_2=\alpha \vektor{\frac{1-i}{2}\\ 1-i \\ 1} [/mm] ?
Und den dritten Vektor dann mit
[mm] \vec v_3=\alpha \vektor{\frac{1+i}{2}\\ 1+i \\ 1} [/mm] ?
Könnte ich mein Fundamentalsystem dann angeben als
[mm] \vec y_1=e^x \vektor{1\\1\\1} \qquad \vec y_2=e^{(1+i)x} \alpha \vektor{\frac{1-i}{2}\\ 1-i \\ 1} \qquad \vec y_3=e^{(1-i)x}\alpha \vektor{\frac{1+i}{2}\\ 1+i \\ 1}
[/mm]
In der Aufgabe ist ja noch gesagt, dass man damit die allgemeine Lösung von [mm] \dot{ x} [/mm] =Ax angeben soll, muss ich dafür eine Fundamentalmatrix aufstellen oder reicht das Fundamentalsystem als Angabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Di 23.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was die wollen ist nicht genau zu sagen, schreib einfach hin y=C1y1+c2y2+c3y3 ist die allg. Lösung, falls keine AW gegeben sind.
Gruss leduart
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Sehen denn die Vektoren und das Fundamentalsystem richtig aus?
Ich würde das jetzt ungern falsch lernen, weil ich auch bald eine Prüfung schreibe. :-(
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mtr-studi,
> Sehen denn die Vektoren und das Fundamentalsystem richtig
> aus?
Das Fundamentalsytem lautet:
[mm] \vec y_1=e^x \vektor{1\\1\\1} \qquad \vec y_2=e^{(1+i)x} \vektor{\frac{1-i}{2}\\ 1\blue{+}i \\ 1} \qquad \vec y_3=e^{(1-i)x} \vektor{\frac{1+i}{2}\\ 1\blue{-}i \\ 1} [/mm]
> Ich würde das jetzt ungern falsch lernen, weil ich auch
> bald eine Prüfung schreibe. :-(
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal ergänzend:
> Ich habe das mal probiert, aber irgendwie weiß ich nicht
> so genau wie das mit dem Eigenvektoren klappt,
sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert der quadratischen Matrix [mm] $A\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $x\,$ [/mm] - es sei [mm] $x\,$ [/mm] nicht der Nullvektor - genau dann ein Eigenvektor
zu [mm] $\lambda$ [/mm] bzgl. [mm] $A\,,$ [/mm] wenn
$0 [mm] \not=x \in \text{ker}(A-\lambda*E)$
[/mm]
ist.
Daher ist ja auch eine Basis von
[mm] $\text{ker}(A-\lambda*E)$
[/mm]
immer interessant!
Beweis: Für $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt
[mm] $Ax=\lambda [/mm] x [mm] \iff Ax-\lambda [/mm] E=0 [mm] \iff (A-\lambda E)x=0\,.$
[/mm]
Dabei ist [mm] $E\,$ [/mm] die (zur "Größe" von [mm] $A\,$ [/mm] passende) Einheitsmatrix.
P.S. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 22.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Das ruft Erinnerung an Lineare Algebra 1 zurück, danke!
Mit dem Eigenvektor komme ich trotzdem nicht weiter.
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