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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mo 02.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum und ein frohes neues Jahr 2012...
ich habe leider auch dieses Jahr ein Problem mit einer Aufgabe...
Es sei [mm] \phi: \IR^3 \to \IR [/mm] die zweimal stetig differenzierbare Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung [mm] \Delta \phi=0 [/mm] und [mm] \vec{v}=\nabla \phi. [/mm] Berechne div [mm] \vec{v} [/mm] und rot [mm] \vec{v}. [/mm] Gilt div [mm] \vec{v}=rot \vec{v}?
[/mm]
Ich habe nun bereits folgendes gefunden:
Es gilt allgemein, dass [mm] \Delta \phi=div(grad \phi)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+...+\bruch{\partial^2 u}{\partial x_n^2}
[/mm]
Und somit gilt für die Aufgabe [mm] \Delta \phi=div(grad \phi)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+...+\bruch{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0
[/mm]
Außerdem gilt, dass [mm] \nabla \phi=grad \phi [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{\partial \phi}{\partial x_1} \\ . \\ . \\ . \\ \bruch{\partial \phi}{\partial x_n}}
[/mm]
Leider finde ich nun nicht so richtig den Zusammenhang bzw. habe noch keine richtige Idee, wie ich da rangehen kann.
Ich hoffe sehr, dass ihr mir weiterhelfen könnt. mfg thadod
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> Hallo Matheraum und ein frohes neues Jahr 2012...
wünsche ich dir ebenfalls !
> Es sei [mm]\phi: \IR^3 \to \IR[/mm] die zweimal stetig
> differenzierbare Lösung der Laplaceschen
> Differentialgleichung [mm]\Delta \phi=0[/mm] und [mm]\vec{v}=\nabla \phi.[/mm]
> Berechne div [mm]\vec{v}[/mm] und rot [mm]\vec{v}.[/mm] Gilt div [mm]\vec{v}=rot \vec{v}?[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
$\ div\ [mm] \vec{v}\ [/mm] =\ rot\ [mm] \vec{v}$ [/mm] kann nie gelten,
denn $\ div\ [mm] \vec{v}$ [/mm] ist ein Skalar- und $\ rot\ [mm] \vec{v}$ [/mm] ein Vektorfeld !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 02.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe...
Ja das mit div [mm] \vec{v}=rot \vec{v} [/mm] ist klar. Darauf hatte ich garnicht mehr geachtet. Aber das kann man ja leicht nachprüfen:
Es gilt z.B. für [mm] \vec{v}=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}, [/mm] dass div [mm] \vec{v}=\bruch{\partial v_1}{\partial x_1}+\bruch{\partial v_2}{\partial x_2}+\bruch{\partial v_3}{\partial x_3} [/mm] und rot [mm] \vec{v}=\vektor{\bruch{\partial v_3}{\partial x_2}-\bruch{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \bruch{\partial v_1}{\partial x_3}-\bruch{\partial v_3}{\partial x_1} \\ \bruch{\partial v_2}{\partial x_1}-\bruch{\partial v_1}{\partial x_1}}
[/mm]
und somit ist ja eientlich bewiesen, dass div [mm] \vec{v} \not= [/mm] rot [mm] \vec{v}. [/mm] Oder wie du halt schreibst, dass Divergenz (div [mm] \vec{v}) [/mm] ein skalares Feld und Rotation (rot [mm] \vec{v}) [/mm] ein Vektorfeld ist.
Aber mein Problem liegt jetzt darin, dass [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] die zweimal stetig differenzierbare Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung [mm] \Delta \phi [/mm] =0 und [mm] \vec{v}=\nabla \phi [/mm] ist. Ich soll ja hieraus div [mm] \vec{v} [/mm] und rot [mm] \vec{v} [/mm] berechnen.
Aber wie gehe ich da ran?
Ich wieß, wie bereits im 1. Beitrag geschrieben, dass somit lauf Aufgabenstellung folgendes gelten muss:
[mm] \Delta \phi=div(grad \phi)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+...+\bruch{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0
[/mm]
und
[mm] \nabla \phi=grad \phi=\vektor{\bruch{\partial \phi}{\partial x_1} \\ . \\ . \\ . \\ \bruch{\partial \phi}{\partial x_n}}
[/mm]
Aber ich habe leider keinen richtigen Ansatz, wie ich hieraus nun div [mm] \vec{v} [/mm] oder rot [mm] \vec{v} [/mm] berechnen soll...
mfg thadod
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> Aber mein Problem liegt jetzt darin, dass [mm]\phi[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> die zweimal stetig differenzierbare Lösung
das sollte wohl heißen: eine solche Lösung,
denn derer gibt es viele !
> der Laplaceschen Differentialgleichung [mm]\Delta \phi[/mm] =0 und
> [mm]\vec{v}=\nabla \phi[/mm] ist. Ich soll ja hieraus div [mm]\vec{v}[/mm]
> und rot [mm]\vec{v}[/mm] berechnen.
>
>
> Aber wie gehe ich da ran?
>
> Ich wieß, wie bereits im 1. Beitrag geschrieben, dass
> somit lauf Aufgabenstellung folgendes gelten muss:
>
> [mm]\Delta \phi=div(grad \phi)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+...+\bruch{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]\nabla \phi=grad \phi=\vektor{\bruch{\partial \phi}{\partial x_1} \\ . \\ . \\ . \\ \bruch{\partial \phi}{\partial x_n}}[/mm]
Hier immer mit n=3 , also nur 3 Komponenten !
> Aber ich habe leider keinen richtigen Ansatz, wie ich
> hieraus nun div [mm]\vec{v}[/mm] oder rot [mm]\vec{v}[/mm] berechnen soll...
div [mm] (\vec{v}) [/mm] = div (grad [mm] \Phi) [/mm] ist nichts anderes als Laplace [mm] (\Phi), [/mm] also nach
Voraussetzung gleich null (skalar).
rot (grad [mm] \Phi) [/mm] kannst du einfach formal ausrechnen und
zeigen, dass es gleich null (vektoriell !) ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Di 03.01.2012 | | Autor: | thadod |
Okay habs geschafft...
Danke für die Hilfe
mfg thadod
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> Okay habs geschafft...
>
> Danke für die Hilfe
>
> mfg thadod
sehr gut !
schönen Abend noch
Al-Chw.
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