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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mi 29.05.2013 | | Autor: | inmortal |
| Aufgabe | Eine Funktion dritter Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0), hat im Wendepunkt die Steigung -3 und im Maximum einen Funktionswert
ymax=f(xmax)=2.
Bestimme Sie die Gleichung der Funktion |
Hallo, ich bin am verzweifeln und komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter!
Ich hoffe ihr könnt mir Lösungsvorschläge bzw. die Lösug berechnen!
Meine Lösungsversuche:
Habe die Steigung -3 zur Stammfunktion einer Funktion 3. Ordnung gebracht,
da ich davon ausgehe, dass die Steigung des Wendepunktes die 1. Ableitung der 2. Ableitung ist. und habe als Ergebnis -0,5x³ für die Funktion bekomme.
Was ist mit dem ymax=2 gemeint?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine Funktion dritter Ordnung ist punktsymmetrisch zum
> Ursprung (0,0), hat im Wendepunkt die Steigung -3 und im
> Maximum einen Funktionswert
> ymax=f(xmax)=2.
> Bestimme Sie die Gleichung der Funktion
> Hallo, ich bin am verzweifeln und komme bei dieser Aufgabe
> gar nicht weiter!
> Ich hoffe ihr könnt mir Lösungsvorschläge bzw. die
> Lösug berechnen!
Gehen wir die  Steckbriefaufgabe mal systematisch an.
Gesucht ist eine Funktion dritten Grades, also hast du
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Da diese ursprungssymmetrisch sein soll, muss gelten b=d=0, da die Ursprungssymmetrie die geraden Exponenten ausschließt.
Also hast du nur noch:
[mm] f(x)=ax^{3}+cx
[/mm]
Da von Extrem- und Wendestellen die Rede ist, leiten wir nun dreimal ab (Eine mögliche Notwendige Bed. f. Wendepunkt ist ja [mm]f'''(x_{w})\ne0[/mm])
Das ergibt:
[mm]f'(x)=3ax^{2}+c[/mm]
[mm]f''(x)=6ax[/mm]
[mm]f'''(x)=6[/mm]
Der Wendepunkt muss hier im Ursprung liegen, da dieses die einzige Stelle ist, an der gilt [mm] f''(x_{w})=0
[/mm]
Die notwendige Bedingung ist ebenfalls erfüllt.
Dort hat die Funktion die Steigung -3, also muss gelten:
[mm]f'(0)=-3[/mm]
Das führt zu [mm] 3a\cdot0+c=-3\Leftrightarrow-3=c [/mm] .
Damit hast du
[mm] f(x)=ax^{3}-3
[/mm]
Bleibt noch, a zu bestimmen, dazu brauchst du noch den Hochpunkt, dazu muss gelten:
f'(x)=0, das führt hier zu:
[mm]3ax^{2}-3=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{a}}[/mm]
Da du nur für positive a die Wurzel ziehen kannst, muss a dann auch positiv sein. Außerdem bekommst du nur dann einen Wendepunkt mit fallender Steigung.
Damit hat der Hochpunkt die x-Koordinate [mm] x=-\sqrt{\frac{1}{a}}, [/mm] denn
[mm] f''\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=6a\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)<0
[/mm]
aber
[mm] f''\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=6a\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)>0
[/mm]
Also muss gelten, da die y-Koordinate dieses Hochpunktes 2 sein soll:
[mm] f\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=2
[/mm]
Mit der konkreten Funktion:
[mm] \left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^{3}-3\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=2
[/mm]
Berechne daraus nun den fehlenden Parameter a.
Bedenke:
[mm] \left(\sqrt{r}\right)^{3}=\left(\sqrt{r}\right)^{2}\cdot\left(\sqrt{r}\right)=r\cdot\sqrt{r}
[/mm]
>
> Meine Lösungsversuche:
> Habe die Steigung -3 zur Stammfunktion einer Funktion 3.
> Ordnung gebracht,
Was hat denn die Stammfunktion hier zu suchen?
> da ich davon ausgehe, dass die Steigung des Wendepunktes
> die 1. Ableitung der 2. Ableitung ist. und habe als
> Ergebnis -0,5x³ für die Funktion bekomme.
> Was ist mit dem ymax=2 gemeint?
[mm] y_{max}=2 [/mm] bedeutet, dass die y-Koordinate eines zu suchenden Hochpunktes 2 sein soll.
Marius
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