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Hallo. Ich habe mal eine Frage. Was eine Ableitung ist, ist mir ja klar. Diese hatte ich ja bisher immer ziemlich leicht berechnen können.
Bsp.: [mm] f(x)=x^3+2x^2+x, f'(x)=3x^2+2x+1
[/mm]
Allerdings hatten wir nun zusätzlich noch folgende Formel:
1. [mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] bzw. umformuliert [mm] f'(x_0)=\limes_{\Delta x\rightarrow\0}\bruch{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
[/mm]
2. [mm] y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
[/mm]
ersteres beschreibt die Sekantensteigung und zweiteres die Tangentensteigung. Aber inwiefern hilft mir das für die Ableitung? Und welche Formel müsste ich anwenden um mein Bsp. von oben [mm] (f(x)=x^3+2x^2+x) [/mm] ableiten zu können? Und außerdem würde mich mal interessieren, warum ich mir das Formal so schwer machen muss, wenn es eigentlich ganz einfach geht.
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Hallo!
Allgemein geht es ja um die Differntialrechnung und wie man den Anstieg einer Geraden berechnet ist dir ja klar, nämlich [mm] m=\bruch{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}. [/mm] Der anstieg einer Geraden ist an jeder stell gleich. Doch bei einer Kurve sieht es anders aus. Dort ist der Anstieg an jeder stelle nicht gleich. Nun kann man einen Teilstück der Kurve durch eine Gerade ersetzen, die sich möglichst gut an die kurve anschmiegt. das problem bei dieser geraden sprich tangente ist das sie nur den anstieg eines bestimmten punktes [mm] P(x_{0} [/mm] , [mm] f(x_{0}) [/mm] angibt. also ersetzt man die tangente durch eine sekante. somit haben wir zwei punkte. [mm] P(x_{0} [/mm] , [mm] f(x_{0}) [/mm] und [mm] Q(x_{0}+h [/mm] , [mm] f(x_{0}+h)). [/mm] wobei h die entfernung der punkte ist. Nun folgt für die steigung: [mm] m=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. [/mm] Da die Senkante für immer kleiner werdene h der tangente nähert bezeichnet man die tangente auch als grenzgerade. Also wenn h gegen 0 strebt dann geht steigung der senkante gegen die steigung der tangente. [mm] (m_{s} \to m_{t})-
[/mm]
Formelmäßig: [mm] m_{t}=\limes_{h\rightarrow 0}(m_{s}), [/mm] wobei [mm] m_{s} [/mm] der Differenzenquotient also [mm] \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= f´(x_{0}). [/mm] Nun mal ein kleines beispiel:
f(x)=x² Du sollst den anstieg an der stelle 2 bestimmen.
1. Aufstellen des Differenzenquptienten:
[mm] \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\bruch{f(2+h)-f(2)}{h}= \bruch{(2+h)²-(2)²}{h}=\bruch{4+4h+h²-4}{h}=\bruch{4h+h²}{h}
[/mm]
2. Bilden des Differentialquotienten:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{4h+h²}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h(4+h)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}(4+h)=4
[/mm]
Also an der stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] ist der anstieg 4
man kanns auch so machen: f(x)=x² dann die ableitung bilden
[mm] f`(x_{0})=2x_{0} [/mm] nun die 2 einsetzetn und es kommt der selbe wert raus.
Und wozu ist das ganze nun gut? Wer sagt denn dass die ableitung von x² gerade 2x ist???das sagt der differentialquotient. 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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genau ich hät's halt mit Ableitung gemacht und dann eben einsetzen. für [mm] x^2 [/mm] ist das Beispiel ja kein Problem und auch super nachvollziehbar. Dankeschön dafür.
Aber wenn ich jetzt z.B. meine Funktion von vorhin nehme also [mm] f(x)=x^3+2x^2+x, [/mm] dann wird das ganze ja schon ein bischen schwieriger bzw. unübersichtlicher. Wäre es dann nicht einfacher die Ableitung ohne diese Formel zu bestimmen und dann einfach einzusetzen? Das würde ja dann ebenfalls meine Steigung beschreiben.
Ich glaube halt das Problem ist, dass wenn ich z.B. einfach nur so ableite und anschließend einsetze davon ausgehe, dass es richtig ist. Wenn ich das aber mit der Formel mache, dann kann ich mir wahrscheinlich wirklich sicher sein. Zudem habe ich dann noch eine möglichkeit das nochmal auf einfacherem Wege zu überprüfen.
Ich habe dann nochmacl kurz eine Frage. Was ist denn wenn ich nicht nur eine, sondern zwei Funktionen. Also z.b.:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Dann nehme ich doch eine ähnliche Formel die lautet:
[mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
Wobei ich hier dann am besten an der Stelle 1 untersuche.
Dann habe ich noch eine Frage zu der Steigung bei der du ja 4 ausgerechnet hast. Wenn die Steigung an diesem Punkt existiert. Kann ich dann sagen, dass die Funktion diff'bar ist? Oder in welchem Fall ist sie dann diff'bar? Wenn sie diff'bar ist, dann ist sie doch auch stetig oder? Allerdings nicht unbedingt diff'bar wenn sie stetig ist?
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Hallo!
Für deine Funktion funktioniert das genauu so aber ja du hast recht das wird unübersichtlicher.
> Wäre es dann
> nicht einfacher die Ableitung ohne diese Formel zu
> bestimmen und dann einfach einzusetzen? Das würde ja dann
> ebenfalls meine Steigung beschreiben.
Natürlich ist es einfacher. Aber beide sachen liefern das selbe ergebnis zumindest sollten sie das sofern man sich nicht verrechnet hat. Das mit dem Differenzenquotienten dienst als einstieg ind die differentialrechnung.
> Ich glaube halt das Problem ist, dass wenn ich z.B.
> einfach nur so ableite und anschließend einsetze davon
> ausgehe, dass es richtig ist. Wenn ich das aber mit der
> Formel mache, dann kann ich mir wahrscheinlich wirklich
> sicher sein. Zudem habe ich dann noch eine möglichkeit das
> nochmal auf einfacherem Wege zu überprüfen.
Ja richtig.
>
> Ich habe dann nochmacl kurz eine Frage. Was ist denn wenn
> ich nicht nur eine, sondern zwei Funktionen. Also z.b.:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Dann nehme ich doch eine ähnliche Formel die lautet:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
Richtig. oder du leitest erst die erste funktion ab überprüfst das und dann die zweite funktion überprüfen
>
> Wobei ich hier dann am besten an der Stelle 1 untersuche.
>
> Dann habe ich noch eine Frage zu der Steigung bei der du ja
> 4 ausgerechnet hast. Wenn die Steigung an diesem Punkt
> existiert. Kann ich dann sagen, dass die Funktion diff'bar
> ist?
Nein. Du kannst nur sagen dass sie an dieser stelle diffbar ist.
Oder in welchem Fall ist sie dann diff'bar? Wenn sie
> diff'bar ist, dann ist sie doch auch stetig oder?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
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Gut das hat mir aufjedenfall super weitergeholfen. Dankeschön . Da bleibt für mich nur noch eine Frage . Wenn ich beweisen soll, dass eine Funktion nicht nur in einem bestimmten Punkt sondern auf ganz [mm] \IR [/mm] diff'bar ist, dann kann ich ja nicht jeden einzelnen Punkt untersuchen. Gibt es dafür auch eine Möglichkeit das zu berechnen?
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> Wenn ich beweisen soll, dass eine Funktion nicht nur in
> einem bestimmten Punkt sondern auf ganz [mm]\IR[/mm] diff'bar ist,
> dann kann ich ja nicht jeden einzelnen Punkt untersuchen.
> Gibt es dafür auch eine Möglichkeit das zu berechnen?
Ja du musst zeigen dass die Funktin stetig ist
Gruß
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