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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] f(x)=\bruch{1}{x} \Rightarrow f'(x)=-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=-\bruch{1}{x(x+h)} [/mm] |
Hi! In der Lösung der Aufgabe sind ein Paar Schritte angegeben, wobei insbesondere einer für mich nicht nachvollziehbar ist.
Und zwar wie kommen die von [mm] \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h} [/mm] auf [mm] \bruch{x-(x+h)}{hx(x+h)} [/mm] ? Außerdem, wie kommen die auf diesen Hinweis, insbesondere den Teil nach dem Gleichzeichen? Bitte helft mir, ich verrecke an dieser aufgabe. Wenn ich die rechne krieg ich für [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=-\bruch{1}{x(x+h)} [/mm] das raus: [mm] -\bruch{1}{h(x(x+h))}=-\bruch{1}{x(x+h)}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]f(x)=\bruch{1}{x} \Rightarrow f'(x)=-\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie, dass
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=-\bruch{1}{x(x+h)}[/mm]
> Hi! In der Lösung der Aufgabe sind ein Paar Schritte
> angegeben, wobei insbesondere einer für mich nicht
> nachvollziehbar ist.
> Und zwar wie kommen die von
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}[/mm] auf
> [mm]\bruch{x-(x+h)}{hx(x+h)}[/mm] ? Außerdem, wie kommen die auf
> diesen Hinweis, insbesondere den Teil nach dem
> Gleichzeichen?
so (Stichworte: 1.) Nennergleichmachen! 2.) Durch einen Bruch dividiert man, in dem man mit seinem Kehrbruch multipliziert! (beachte auch: [mm] $h=\frac{h}{1}$)):
[/mm]
[mm] $$\bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}=\frac{\frac{x}{x*(x+h)}-\frac{x+h}{x*(x+h)}}{h}=\frac{\frac{x-(x+h)}{x*(x+h)}}{h}=\frac{x-(x+h)}{x*(x+h)}*\frac{1}{h}=\frac{x-(x+h)}{h*x*(x+h)}\,.$$
[/mm]
> Bitte helft mir, ich verrecke an dieser
> aufgabe. Wenn ich die rechne krieg ich für
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=-\bruch{1}{x(x+h)}[/mm] das raus:
> [mm]-\bruch{\red{1}}{h(x(x+h))}[/mm]
Korrekterweise sollte dort stehen
[mm]-\bruch{\blue{h}}{h(x(x+h))}=-\bruch{1}{x(x+h)}\,,[/mm]
wobei $h [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] sei.
Bis dahin wäre das dann okay. Und was passiert nun bei $h [mm] \to [/mm] 0$?
(Beachte: Ist [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] diff'bar, so berechnet sich die Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] - also [mm] $f'(x)\,$ [/mm] - vermittels [mm] $f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 24.09.2009 | | Autor: | toteitote |
Vielen Dank, Marcel!
Das hat mir sehr geholfen.
Gruß, Tiemo
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