Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 13.09.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ich habe einige Verständnisfragen zum Thema Differentiation.
Wir haben die Ableitung zunächst über den Differenzenquotient eingeführt, sowohl in [mm] \mathbb{R}, [/mm] als dann auch später bei den partiellen Ableitungen im [mm] \mathbb{R}^n. [/mm] Das kann ich soweit noch nachvollziehen. Im höherdimensionalen ist also die Ableitung die Jacobi-Matrix, also eine lineare Abbildung.
Es ist also: für U [mm] \subset \mathbb{R}^n [/mm] , f' : U [mm] \to L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m), [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f'(x).
Soweit ok.
Als nächstes aber wird eine andere Interpretation der Ableitung wie folgt eingeführt:
f' : U [mm] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, [/mm] (x,h) [mm] \mapsto [/mm] f'(x,h)=f'(x)h, wobei f' linear in der zweiten Komponente ist.
So. Mehr steht dazu nicht als Erklärung.
Ich verstehe die Zusammenhänge dabei nicht.
h wird hier wohl die Richtung angeben, in die ich ableite? Wenn ich nun aber ein festes x gegeben habe, konnte ich mit der Jacobi-matrix direkt die Ableitung ausrechnen ohne h zu kennen. Wie geht das hierbei?
Und: Wie kann es sein, dass einmal eine Ableitungsfunktion f' als Argument einen Vektor x hat und das andere Mal hat dieselbe Funktion ein Tupel (x,h) als Argument??
f' ist angeblich linear in der zweiten Komponente. Warum wird das h-Argument einfach rausgezogen und f' ist nur noch von x abhängig?
In einer Übungsaufgabe von uns wird beispielsweise diese (x,h) Interpretation der Ableitung verwendet und damit gerechnet. Da stehen in der Musterlösung Dinge, wie:
[mm] f'(x_n) \frac{h_n}{|h_n|}= [/mm] - [mm] \frac{1}{2}f''(x_n [/mm] + [mm] \theta_nh_n,\frac{h_n}{|h_n|},\frac{h_n}{|h_n|})|h_n|. [/mm] Es wird also konkret mit diesem "h" gerechnet. Das kann ich leider gar nicht nachvollziehen :-(
Kann mir jemand weiterhelfen bzw. das erklären?
Oder kennt jemand ein Skript, in dem ich das durcharbeiten kann?
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mo 13.09.2010 | | Autor: | fred97 |
1.
Du hast eine (offene) Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und eine Funktion $f:U [mm] \to \IR^m$
[/mm]
Ist [mm] x_0 \in [/mm] U und ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist [mm] $f'(x_0)$ [/mm] eine lineare Abbildung vom [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR^m, [/mm] also
[mm] $f'(x_0) \in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m),$
[/mm]
oder : [mm] $f'(x_0): \IR^n \to \IR^m$.
[/mm]
Dann ist für h [mm] \in \IR^n:
[/mm]
[mm] $f'(x_0)h$ [/mm] der Funktionswert der Abb. [mm] f'(x_0) [/mm] an der Stelle h.
Damit ist [mm] $f'(x_0)(rh+sk) [/mm] = [mm] rf'(x_0)h+sf'(x_0)k$ [/mm] für r,s [mm] \in \IR [/mm] und h,k [mm] \in \IR^n
[/mm]
Das ist im wesentlichen schon alles.
2.
Diese Bezeichnungsweise
f' : U $ [mm] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, [/mm] $ (x,h) $ [mm] \mapsto [/mm] $ f'(x,h)=f'(x)h
finde ich ungeschickt und verwirrend.
3.
Hierzu
$ [mm] f'(x_n) \frac{h_n}{|h_n|}= [/mm] $ - $ [mm] \frac{1}{2}f''(x_n [/mm] $ + $ [mm] \theta_nh_n,\frac{h_n}{|h_n|},\frac{h_n}{|h_n|})|h_n|. [/mm] $
kann ich nur was sagen, wenn ich den genaueren Zusammenhang kenne, den Du aber nicht geschildert hast. Wie habt Ihr f'' def. ?
FRED
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