Differentiation nachweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 So 18.01.2015 | | Autor: | arraneo |
Hallo zusammen,
Die Aufgabe lautet:
Es sei [mm] x_0\in(a,b) [/mm] und [mm] f:[a,b]\to\mathbb{R} [/mm] stetig und diff'bar auf [a,b] \ [mm] {x_0}. [/mm] Weiterhin existiere der Grenzwert [mm] \limes_{x\to x_0}f'(x)=:y. [/mm]
Zeigen Sie, dass dann f auch in [mm] x_0 [/mm] diff'bar ist mit der Ableitung [mm] f'(x_0)=y. [/mm] Kann auf die Stetigkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] verzichtet werden?
Meine Gedanken:
Wir hatten stets die Diff'barkeit von f in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] dadurch definiert, dass den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert. (in diesem Fall ist er gleich y)
Weiterhin existiert diesen Grenzwert nur dann, wenn es gilt:
[mm] \limes_{x\nearrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\searrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Worauf dann folgt : [mm] f'(x_0)=y. [/mm]
Oder?
Zu der Frage, ob man auf die Stetigkeit in Punkt [mm] x_0 [/mm] verzichten kann, denke ich mir, jein, sprich die Funktion sollte in [mm] x_0 [/mm] mindestens stetigfortsetzbar sein, denn jeder differenzierbare Funktion ist ja auch stetig.
Könnte mir jemanden bitte dabei helfen, wie ich das ganze überhaupt (ausführlicher?) formulieren könnte?
vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 18.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo arraneo!
Du hast angenommen, dass [mm] $f\$ [/mm] in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist, aber das
willst du doch eigentlich zeigen! Lies erneut genau die Voraus-
setzungen und betrachte anschließend den Differenzenquotienten
bzw. benutze den Mittelwertsatz.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 18.01.2015 | | Autor: | arraneo |
hey DieAcht, danke für die Meldung,
ich verstehe leider noch nicht, wie den Mittelwertsatz da auftaucht :S
Ich verstehe aber was du geschrieben hast, nur weil die 2 seitigen Grenze gleich sind und überhaupt existieren, heißt es implizit nicht, dass die dann auch gleich [mm] f'(x_0) [/mm] sind.
Die Funktion muss aber allerdings stetig sein, sonst geht das gar nicht, denke ich ..
Könntest du mir bitte einen weiteren Tipp geben? :)
vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:41 Mo 19.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Du sollst zeigen, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.
Dazu verwende den Mittelwertsatz.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 19.01.2015 | | Autor: | arraneo |
Hey Fred, ja das wurde auch davor geschrieben und ich kam damit einfach nicht weiter..
Der Satz sagt mir nur, dass die Steigung der Sekante durch a und b ist gleich die Steigung der Tangente eines Zwischenwertes . Mein Zwischenwert muss ja nicht gerade [mm] x_0 [/mm] sein.
Umgekehrt, denke ich mir, an der Stelle [mm] x_0 [/mm] könnte man ein Intervall herum finden (a',b') wofür dann gelte: [mm] f'(x_0)=\frac{f(b')-f(a')}{b'-a'}
[/mm]
Jetzt hatte ich mir überlegt, dass dieses Intervall wäre irgendwie in der form [mm] (x_0,x_0+h) [/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm]
Nun war aber [mm] \limes_{x\to x_0} [/mm] f'(x)=y [mm] \iff \limes_{h\to 0}f'(x_0-h)=y [/mm]
und [mm] \limes_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] f'(x_0)=y. [/mm]
Ist das schon in die richtige Richtung?! :S
danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 19.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred, ja das wurde auch davor geschrieben und ich kam
> damit einfach nicht weiter..
>
> Der Satz sagt mir nur, dass die Steigung der Sekante durch
> a und b ist gleich die Steigung der Tangente eines
> Zwischenwertes . Mein Zwischenwert muss ja nicht gerade
> [mm]x_0[/mm] sein.
>
> Umgekehrt, denke ich mir, an der Stelle [mm]x_0[/mm] könnte man ein
> Intervall herum finden (a',b') wofür dann gelte:
> [mm]f'(x_0)=\frac{f(b')-f(a')}{b'-a'}[/mm]
>
> Jetzt hatte ich mir überlegt, dass dieses Intervall wäre
> irgendwie in der form [mm](x_0,x_0+h)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
> Nun war aber [mm]\limes_{x\to x_0}[/mm] f'(x)=y [mm]\iff \limes_{h\to 0}f'(x_0-h)=y[/mm]
>
> und [mm]\limes_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] = [mm]f'(x_0)=y.[/mm]
>
> Ist das schon in die richtige Richtung?! :S
Nein.
Zu x [mm] \ne x_0 [/mm] gibt es nach dem MWS ein [mm] t_x [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] mit
[mm] \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})=f'(t_x)
[/mm]
Was treibt [mm] t_x [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?
Was treibt [mm] f'(t_x) [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?
Was treibt [mm] \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?
FRED
>
> danke!!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:42 Mo 19.01.2015 | | Autor: | arraneo |
Hi,
Ich sehe den Unterschied nicht so wirklich? Du sagst, zwischen x und [mm] x_0 [/mm] gibt es ein [mm] t_x, [/mm] wo ich geschrieben hatte, zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h:= [/mm] x und hatte x einfach so definiert. Warum darf ich das nicht? :(
immerhin für [mm] x\to x_0 [/mm] : [mm] t_x\to x_0 [/mm] und weiterhin [mm] f'(t_x)\to f'(x_0) [/mm] d.h.
[mm] \limes_{x\to x_0}f'(t_x)=\limes_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'x_0)= [/mm] y
?
arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 21.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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