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Forum "Vektoren" - Differenz Äquivalenzklasse
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Differenz Äquivalenzklasse: Aufgabe 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Fr 06.12.2013
Autor: mart1n

Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v] - 2[w]

Der Vektor v ist: v = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm]

Der Vektor w ist: w = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 15 } [/mm]

Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht bestimmen, da hab ich als Lösung:
x = [mm] \alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] mit a [mm] \in \IR [/mm]

Aber bei  [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch, wie soll ich die Differenz davon bilden?

        
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Fr 06.12.2013
Autor: angela.h.b.


> Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v]
> - 2[w]

Hallo,

es wäre ganz gut, wenn Du uns erstmal die Äquivalenzrelation verraten würdest.

LG Angela
>

> Der Vektor v ist: v = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm]

>

> Der Vektor w ist: w = [mm]\vektor{0 \\ 8 \\ 15 }[/mm]

>

> Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht
> bestimmen, da hab ich als Lösung:
> x = [mm]\alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]

>

> Aber bei [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch,
> wie soll ich die Differenz davon bilden?


Bezug
                
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:17 Fr 06.12.2013
Autor: mart1n

Ah mist, das habe ich selber übersehen, eine Äquivalenzrelation ist selbst nicht angegeben. Es ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] mit U := [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]  angegeben und die Äquivalenzklassen sollen  [mm] \in \IR^{3} [/mm]  \ U sein.

Bezug
                        
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Fr 06.12.2013
Autor: mart1n

Status meiner Frage ist leider auf beantwortet gesetzt worden, ist aber noch nicht benatwortet :)



Bezug
        
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Fr 06.12.2013
Autor: angela.h.b.


> Ich soll folgende Äquivalenzklassen bestimmen: [v] und [v]
> - 2[w]

>

> Der Vektor v ist: v = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm]

>

> Der Vektor w ist: w = [mm]\vektor{0 \\ 8 \\ 15 }[/mm]

>

> Die Äquivalenzklasse [v] lässt sich ziehmlich leicht
> bestimmen, da hab ich als Lösung:
> x = [mm]\alpha \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] mit a [mm]\in \IR[/mm]

>


Hallo,

da hab' ich so meine Bedenken:

es geht Deiner Mitteilung nach ja um Äquivalenz modulo [mm] U=<\vektor{1\\1\\1}>. [/mm]

Also sind in [v] doch die Vektoren x, für die [mm] v-x\in [/mm] U gilt.

Das gilt für die von Dir angegebenen Vektoren x aber nicht.

LG Angela


> Aber bei [v] - 2[w] steh ich irgendwie auf dem Schlauch,
> wie soll ich die Differenz davon bilden?


Bezug
                
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Fr 06.12.2013
Autor: mart1n

Das wäre ja dann x := [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm]

und für [v] - 2[w] gilt dann:

[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] - 2 [mm] \vektor{-1 \\ 7 \\ 14} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -15 \\ -28} [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Fr 06.12.2013
Autor: mart1n

Ähm verrechnet :/ Das hier natürlich:
[v] - 2[w] = [mm] \vektor{2 \\ -13\\ -26} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Differenz Äquivalenzklasse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Sa 07.12.2013
Autor: angela.h.b.


> Das wäre ja dann x := [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm]

Hallo,

das ist ein weiterer Repäsentat der Äquivalenzklasse [v], ebenso wie auch v ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse ist.

So, wie Du die Aufgabe wiedergibst, ist aber nicht ein weiterer Repräsentatn zu bestimmen, sondern [v].

Ich habe ja schon gesagt - und es sollte auch in Deinem Skript stehen - daß

[mm] [v]:=\{x\in \IR^3| v\sim_Ux\}=\{x|v-x\in U\}. [/mm]

Du findest raus, daß

[mm] [v]=\{v+\lambda\vektor{1\\1\\1}| \lambda\in \IR\}=v+U. [/mm]

Ich dene, die letztere Schreibweise ist bereits bekannt.

[v] ist also eine Menge, welche u.a. v und Dein x noch noch viele andere Vektoren enthält.

Anschaulich ist es der um v verschobene Raum U, also eine hier eine Gerade parallel zu U durch v.
Die Anschauung ist aber nicht wichtig.


Entsprechend würde man die Äquivalenzklasse [w] bestimmen.

Ihr habt nun in der Vorlesung fürs Rechnen mit Äquivalenzklassen, also fürs Rechnen in V/U, [mm] hier:\IR^3/U, [/mm] Verknüpfungen eingeführt, welche den Quotientenraum (Faktorraum) [mm] \IR^3/U [/mm] zu einem Vektorraum machen: man rechnet "in natürlicher Weise" mit den Repräsentanten.

Du hast in ähnlicher Manier wie zuvor festgestellt, daß [mm] \vektor{-1\\7\\14}\in [/mm] [w], also einen weiteren Repräsentanten bestimmt.
Das war nicht gefragt, aber der Repäsentant ist richtig.
Mach Dir klar, daß [mm] [\vektor{0\\8\\15}]=[\vektor{-1\\7\\14}] [/mm]



> und für [v] - 2[w] gilt dann:

>

> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -15 \\ -28}[/mm]

>

> Ist das so richtig?

Es ist völlig falsch, und doch nah dran.

1.
Es ist [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] [mm] \not=[/mm]  [mm]\vektor{0 \\ -15 \\ -28}[/mm]..

2.
Wenn Du meinst, daß
[v] - 2[w] =[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm] ,
dann liegst Du völlig falsch. Warum, das sollte Dir inzwischen klar sein.
Es ist aber [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] - 2 [mm]\vektor{-1 \\ 7 \\ 14}[/mm]  ein Repräsentant von [v] - 2[w]

3.
Schau Dir die Verknüpfungen im Faktorraum an.
Es ist [v]-2[w]=[v]-[2w]=[v-2w]
Rechnen kannst Du hier mit den gegebenen Vektoren.
Es besteht kein Grund dafür, mit anderen Repräsentanten zu rechnen.
Man kann es aber tun, wenn es einem gefällt.

LG Angela

Bezug
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