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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 05.02.2014 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | [mm] y_{n+3}-y_{n+2}+2y_{n}=50n (-1)^{n}
[/mm]
Ges. allg. Lösung |
Ich bereite mich gerade auf meine Prüfung vor und würde jetzt gern wissen, ob meine Rechnung stimmt.
[mm] y_{n+3}-y_{n+2}+2y_{n}=50n (-1)^{n}
[/mm]
homogener Teil:
Ansatz: [mm] z_{n}=\lambda^{n}
[/mm]
daraus folgt: [mm] \lambda^{3}-\lambda^{2}+2=0
[/mm]
Lösungen der Gleichung: [mm] \lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1+i; \lambda_{3}=1-i;
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{n}=C_{1} (-1)^{n}+C_{2} \wurzel[2]{2}^{n} cos(n\bruch{\pi}{4})+C_{3} \wurzel[2]{2}^{n} sin(n\bruch{\pi}{4})
[/mm]
inhomogener Anteil:
Ansatz: [mm] y_{n}=(A+Bn) (-1)^{n}n [/mm] (Resonanz, da -1 Nullstelle der o.g. Gleichung)
[mm] y_{n+1}=(Bn^{2}+(A+2B)n+A+B) (-1)^{n+1} [/mm] (nach ausklammern und zusammenfassen)
[mm] y_{n+2}=(Bn^{2}+(A+4B)n+2A+4B) (-1)^{n+2}
[/mm]
[mm] y_{n+3}=(Bn^{2}+(A+6B)n+3A+9B) (-1)^{n+3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (Bn^{2}+(A+6B)n+3A+9B) (-1)^{n+3}-(Bn^{2}+(A+4B)n+2A+4B) (-1)^{n+2}+2(A+Bn) (-1)^{n}n [/mm] = [mm] (-1)^{n}(-10Bn-5A-13B) [/mm] (zusammenfassen)
[mm] \Rightarrow (-1)^{n}(-10Bn-5A-13B) [/mm] = [mm] 50n(-1)^{n}
[/mm]
durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
B = -5
A = 13
[mm] y_{n}^{inh}=(13-5n) (-1)^{n}n
[/mm]
daraus folgt die Allg. Lösung:
[mm] y_{n}=C_{1} (-1)^{n}+C_{2} \wurzel[2]{2}^{n} cos(n\bruch{\pi}{4})+C_{3} \wurzel[2]{2}^{n} sin(n\bruch{\pi}{4})+(13-5n) (-1)^{n}n
[/mm]
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Do 06.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y_{n+3}-y_{n+2}+2y_{n}=50n (-1)^{n}[/mm]
>
> Ges. allg. Lösung
> Ich bereite mich gerade auf meine Prüfung vor und würde
> jetzt gern wissen, ob meine Rechnung stimmt.
>
> [mm]y_{n+3}-y_{n+2}+2y_{n}=50n (-1)^{n}[/mm]
>
> homogener Teil:
> Ansatz: [mm]z_{n}=\lambda^{n}[/mm]
> daraus folgt: [mm]\lambda^{3}-\lambda^{2}+2=0[/mm]
> Lösungen der Gleichung: [mm]\lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1+i; \lambda_{3}=1-i;[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_{n}=C_{1} (-1)^{n}+C_{2} \wurzel[2]{2}^{n} cos(n\bruch{\pi}{4})+C_{3} \wurzel[2]{2}^{n} sin(n\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> inhomogener Anteil:
> Ansatz: [mm]y_{n}=(A+Bn) (-1)^{n}n[/mm]
> (Resonanz, da -1 Nullstelle der o.g. Gleichung)
>
> [mm]y_{n+1}=(Bn^{2}+(A+2B)n+A+B) (-1)^{n+1}[/mm] (nach ausklammern
> und zusammenfassen)
> [mm]y_{n+2}=(Bn^{2}+(A+4B)n+2A+4B) (-1)^{n+2}[/mm]
>
> [mm]y_{n+3}=(Bn^{2}+(A+6B)n+3A+9B) (-1)^{n+3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (Bn^{2}+(A+6B)n+3A+9B) (-1)^{n+3}-(Bn^{2}+(A+4B)n+2A+4B) (-1)^{n+2}+2(A+Bn) (-1)^{n}n[/mm]
> = [mm](-1)^{n}(-10Bn-5A-13B)[/mm] (zusammenfassen)
>
> [mm]\Rightarrow (-1)^{n}(-10Bn-5A-13B)[/mm] = [mm]50n(-1)^{n}[/mm]
>
> durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
> B = -5
> A = 13
>
> [mm]y_{n}^{inh}=(13-5n) (-1)^{n}n[/mm]
>
> daraus folgt die Allg. Lösung:
> [mm]y_{n}=C_{1} (-1)^{n}+C_{2} \wurzel[2]{2}^{n} cos(n\bruch{\pi}{4})+C_{3} \wurzel[2]{2}^{n} sin(n\bruch{\pi}{4})+(13-5n) (-1)^{n}n[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ich sehe keinen Fehler !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
Danke schön!
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