Differenzengleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dzgl.
[mm] Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}=2^{k} [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung wie man mit Dzgln umgeht. Ich habe versucht es ähnlich wie eine DGL zu behandeln und möchte euch fragen ob ich es so machen darf... ich bin mir aber an manchen stellen nicht sicher und habe eine Muster Lösung auf die ich nicht komme.... zum verzweifeln :( Ich habe in Bücher nachgeschaut... Wenn man etwas findet ist es Furchtbar erklärt (ich verstehe es leider nicht).
Mein Ansatz. Ich versuche erstmal eine homogene Lösung zu ermitteln...
mit [mm] Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}= [/mm] 0
erhalte ich durch einsetzen von [mm] Y_{k+1}= \lambda^{2}
[/mm]
kommt für [mm] \lambda_{1,2}= -1\pm [/mm] i
habe ich dann somit eine homogene Lösung die wie folgt ausschaut?
[mm] Y_{k}= -1^{k}(c_{1}*cos \beta +c_{2}*sin \beta)?
[/mm]
ich wollte bis hier erstmal einen feedback einhollen ob ich auf den richtigen weg bin oder das alles ziemlich käse ist....
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> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dzgl.
>
> [mm]Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}=2^{k}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Lautet die Gleichung wirklich so ?
Dann fällt ja [mm] Y_k [/mm] sofort heraus und man hat [mm] Y_{k+1}=2^k
[/mm]
bzw. [mm] Y_{k}=2^{k-1}
[/mm]
> Ich habe leider keine Ahnung wie man mit Dzgln umgeht. Ich
> habe versucht es ähnlich wie eine DGL zu behandeln und
> möchte euch fragen ob ich es so machen darf... ich bin mir
> aber an manchen stellen nicht sicher und habe eine Muster
> Lösung auf die ich nicht komme.... zum verzweifeln :( Ich
> habe in Bücher nachgeschaut... Wenn man etwas findet ist
> es Furchtbar erklärt (ich verstehe es leider nicht).
>
> Mein Ansatz. Ich versuche erstmal eine homogene Lösung zu
> ermitteln...
>
> mit [mm]Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}=[/mm] 0
> erhalte ich durch einsetzen von [mm]Y_{k+1}= \lambda^{2}[/mm]
>
> kommt für [mm]\lambda_{1,2}= -1\pm[/mm] i
>
> habe ich dann somit eine homogene Lösung die wie folgt
> ausschaut?
>
> [mm]Y_{k}= -1^{k}(c_{1}*cos \beta +c_{2}*sin \beta)?[/mm]
>
> ich wollte bis hier erstmal einen feedback einhollen ob ich
> auf den richtigen weg bin oder das alles ziemlich käse
> ist....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
oh nein... ich habe mich vertippt
es sollte lauten
[mm] Y_{k+2}-2Y_{k+1}+2Y_{k}=2^{k}
[/mm]
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Hallo Dany96,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dzgl.
>
> [mm]Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}=2^{k}[/mm]
> Ich habe leider keine Ahnung wie man mit Dzgln umgeht. Ich
> habe versucht es ähnlich wie eine DGL zu behandeln und
> möchte euch fragen ob ich es so machen darf... ich bin mir
> aber an manchen stellen nicht sicher und habe eine Muster
> Lösung auf die ich nicht komme.... zum verzweifeln :( Ich
> habe in Bücher nachgeschaut... Wenn man etwas findet ist
> es Furchtbar erklärt (ich verstehe es leider nicht).
>
> Mein Ansatz. Ich versuche erstmal eine homogene Lösung zu
> ermitteln...
>
> mit [mm]Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k}=[/mm] 0
> erhalte ich durch einsetzen von [mm]Y_{k+1}= \lambda^{2}[/mm]
>
Die Gleichung soll doch bestimmt
[mm]Y_{k+1}-2Y_{k}+2Y_{k\blue{-1}}=2^{k}[/mm]
lauten.
Falls ja, dann stimmen die [mm]\lambda_{1,2}[/mm] nicht.
> kommt für [mm]\lambda_{1,2}= -1\pm[/mm] i
>
> habe ich dann somit eine homogene Lösung die wie folgt
> ausschaut?
>
> [mm]Y_{k}= -1^{k}(c_{1}*cos \beta +c_{2}*sin \beta)?[/mm]
>
Die homogene Lösung sieht so aus:
[mm]Y_{k}= c_{1}*r^{k}*\cos\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)+c_{2}*r^{k}*\sin\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)[/mm]
> ich wollte bis hier erstmal einen feedback einhollen ob ich
> auf den richtigen weg bin oder das alles ziemlich käse
> ist....
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
Hallo Mathepower,
ich habe mich leider vertippt. die Aufgabe lautet:
[mm] Y_{k+2}-2Y_{k+1}+2Y_{k}=2^{k}
[/mm]
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Hallo Dany96,
> Hallo Mathepower,
>
> ich habe mich leider vertippt. die Aufgabe lautet:
>
> [mm]Y_{k+2}-2Y_{k+1}+2Y_{k}=2^{k}[/mm]
Dann ergibt sich die homogene Lösung so, wie angegeben.
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
Super, schon mal ein Erfolgserlebnis :) Ich versuche es weiterhin als "DGL" zu behandeln, wie gesagt ich komme mit Dzgln nicht wirklich zurecht...
ich betrachte jetzt die Störfunktion [mm] 2^{k} [/mm] und nehme als Ansatz( basiert auf eine abgeänderten version Typ der Rechte Seite... wie gesagt, ich kenne mich mit DZGL nicht aus :( ):
[mm] AK*2^{k}... [/mm] normalerweise würde ich jetzt ableiten... aber gut, ich versuche es hier zu ersetzen...
dann habe ich (laut meine Logik... für
[mm] Y_{k+2}= AK+2*2^{k+2}
[/mm]
[mm] Y_{k+1}= AK+1*2^{k+1}
[/mm]
[mm] Y_{k}= AK*2^{k}
[/mm]
setze es in Dzgl ein und erhalte
[mm] AK+2*2^{k+2}-2(AK+1*2^{k+1})+2AK*2^{k} [/mm] = [mm] 2^{k}
[/mm]
koeff.Verglich liefert
AK+2=0
AK+1=0
AK= 1/2
=> Yp= [mm] \bruch{2^{k}}{2}
[/mm]
somit hätte ich doch als allgemeine Lösung [mm] (Y_{k}=Y_{h}+Y_{p})
[/mm]
[mm] Y_{k}= -1^{k}*(C_{1}*cos \beta +C_{2}*sin \beta)+ \bruch{2^{k}}{2}
[/mm]
aber als Lösung ist gegeben
[mm] Y_{k}=(\wurzel{2})^{k}*(C_{1}*cos (k*\bruch{\pi}{4})+C_{2}*sin (k*\bruch{\pi}{4}))+ 2^{k-1}
[/mm]
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Hallo Dany96,
> Super, schon mal ein Erfolgserlebnis :) Ich versuche es
> weiterhin als "DGL" zu behandeln, wie gesagt ich komme mit
> Dzgln nicht wirklich zurecht...
>
> ich betrachte jetzt die Störfunktion [mm]2^{k}[/mm] und nehme als
> Ansatz( basiert auf eine abgeänderten version Typ der
> Rechte Seite... wie gesagt, ich kenne mich mit DZGL nicht
> aus :( ):
>
> [mm]AK*2^{k}...[/mm] normalerweise würde ich jetzt ableiten... aber
> gut, ich versuche es hier zu ersetzen...
>
> dann habe ich (laut meine Logik... für
>
> [mm]Y_{k+2}= AK+2*2^{k+2}[/mm]
> [mm]Y_{k+1}= AK+1*2^{k+1}[/mm]
> [mm]Y_{k}= AK*2^{k}[/mm]
>
Das ist nicht richtig:
[mm]Y_{k+2}= A*2^{k+2}[/mm]
[mm]Y_{k+1}= A*2^{k+1}[/mm]
[mm]Y_{k}= A*2^{k}[/mm]
> setze es in Dzgl ein und erhalte
>
> [mm]AK+2*2^{k+2}-2(AK+1*2^{k+1})+2AK*2^{k}[/mm] = [mm]2^{k}[/mm]
>
> koeff.Verglich liefert
>
> AK+2=0
> AK+1=0
> AK= 1/2
>
> => Yp= [mm]\bruch{2^{k}}{2}[/mm]
>
> somit hätte ich doch als allgemeine Lösung
> [mm](Y_{k}=Y_{h}+Y_{p})[/mm]
>
> [mm]Y_{k}= -1^{k}*(C_{1}*cos \beta +C_{2}*sin \beta)+ \bruch{2^{k}}{2}[/mm]
>
Deine angegebene homogene Lösung stimmt nicht.
Ich habe Dir die Lösung angegeben, wie sie aussehen muss.
> aber als Lösung ist gegeben
>
> [mm]Y_{k}=(\wurzel{2})^{k}*(C_{1}*cos (k*\bruch{\pi}{4})+C_{2}*sin (k*\bruch{\pi}{4}))+ 2^{k-1}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
ich verstehe nicht ganz. Wenn die Homogene Lösung diese Form haben sollte:
[mm] Y_{k}= c_{1}\cdot{}r^{k}\cdot{}\cos\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}r^{k}\cdot{}\sin\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)
[/mm]
dann ist sie doch
[mm] Y_{k}= c_{1}\cdot{}-1^{k}\cdot{}\cos\left( \ \left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}-1^{k}\cdot{}\sin\left( \ \left(k\right) \ \right)
[/mm]
wenn
[mm] \lambda= [/mm] -1 [mm] \pm [/mm] i ist.
es ist doch [mm] \lambda= r+\beta [/mm] i oder?
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Hallo Dany96,
> ich verstehe nicht ganz. Wenn die Homogene Lösung diese
> Form haben sollte:
>
> [mm]Y_{k}= c_{1}\cdot{}r^{k}\cdot{}\cos\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}r^{k}\cdot{}\sin\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)[/mm]
>
> dann ist sie doch
>
> [mm]Y_{k}= c_{1}\cdot{}-1^{k}\cdot{}\cos\left( \ \left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}-1^{k}\cdot{}\sin\left( \ \left(k\right) \ \right)[/mm]
>
> wenn
>
> [mm]\lambda=[/mm] -1 [mm]\pm[/mm] i ist.
>
> es ist doch [mm]\lambda= r+\beta[/mm] i oder?
Nein, r ist der Betrag dieser [mm]\lambda[/mm]'s.
[mm]\beta[/mm] ist das k-fache des Argumentes dieser komplexen Zahl.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
Nun gut, das heißt r= [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{3} \beta [/mm] ... kann ich behaupten tan [mm] \phi [/mm] = b/a und somit ist 1+1i = [mm] \wurzel{2}*e^{i(arctan 1)}
[/mm]
und nun für die homogene Lösung
[mm] Y_{k}=\wurzel{2}^{k}*cos [/mm] k *arctan [mm] (1)+\wurzel{2}^{k}*sin [/mm] k *arctan (1)
arctan(1) = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
somit
[mm] Y_{k}=\wurzel{2}^{k}*cos [/mm] (k [mm] *\bruch{\pi}{4})+\wurzel{2}^{k}*sin [/mm] (k [mm] *\bruch{\pi}{4})
[/mm]
das sieht schon besser aus für die homogene Lösung. Aber nun verstehe ich leider immer noch nicht wie es zu der [mm] Y_{p}=2^{k-1} [/mm] kommt...
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Hallo Dany96,
> Nun gut, das heißt r= [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{3} \beta[/mm]
> ... kann ich behaupten tan [mm]\phi[/mm] = b/a und somit ist 1+1i =
> [mm]\wurzel{2}*e^{i(arctan 1)}[/mm]
>
> und nun für die homogene Lösung
>
> [mm]Y_{k}=\wurzel{2}^{k}*cos[/mm] k *arctan [mm](1)+\wurzel{2}^{k}*sin[/mm] k
> *arctan (1)
>
> arctan(1) = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> somit
>
> [mm]Y_{k}=\wurzel{2}^{k}*cos[/mm] (k
> [mm]*\bruch{\pi}{4})+\wurzel{2}^{k}*sin[/mm] (k [mm]*\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
>
> das sieht schon besser aus für die homogene Lösung. Aber
> nun verstehe ich leider immer noch nicht wie es zu der
> [mm]Y_{p}=2^{k-1}[/mm] kommt...
>
Dazu machst Du doch den Ansatz [mm]Yp_{k}=A*2^{k}[/mm].
Eingesetzt in die Differenzengleichung
[mm]Yp_{k+2}-2*Yp_{k+1}+2*Yp_{k}=2^{k}[/mm]
[mm]\gdw A*2^{k+2}-2*A*2^{k+1}+2*A*2^{k}=2^{k}[/mm]
[mm]\gdw A*4*2^{k}-2*A*2*2^{k}+2*A*2^{k}=2^{k}[/mm]
[mm]\gdw A*4*2^{k}-4*A*2^{k}+2*A*2^{k}=2^{k}[/mm]
[mm]\gdw 2*A*2^{k}=2^{k} \Rightarrow A=\bruch{2^{k}}{2*2^{k}}=\bruch{1}{2}[/mm]
Damit ist
[mm]Yp_{k}=A*2^{k}=\bruch{1}{2}*2^{k}=\bruch{2^{k}}{2^{1}}=2^{k-1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 30.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
ich habe doch noch eine Frage:
Warum ist der Ansatz
[mm] Yp_{k}=A\cdot{}2^{k}
[/mm]
und nicht
[mm] Yp_{k}=AK\cdot{}2^{k} [/mm] ?
Bei eine ähnlichen Aufgabe
[mm] Y_{k+2}-9Y_{k}= 3^{k} [/mm]
war der Ansatz
[mm] Yp_{k}=A*K \cdot{}3^{k}
[/mm]
liegt es hier vielleicht daran ndass es sich um die Nullstellen Art? [mm] (\lambda_{1,2}=3
[/mm]
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Hallo Dany96,
> ich habe doch noch eine Frage:
>
> Warum ist der Ansatz
> [mm]Yp_{k}=A\cdot{}2^{k}[/mm]
>
> und nicht
>
> [mm]Yp_{k}=AK\cdot{}2^{k}[/mm] ?
>
> Bei eine ähnlichen Aufgabe
>
> [mm]Y_{k+2}-9Y_{k}= 3^{k}[/mm]
> war der Ansatz
>
> [mm]Yp_{k}=A*K \cdot{}3^{k}[/mm]
>
> liegt es hier vielleicht daran ndass es sich um die
> Nullstellen Art? [mm](\lambda_{1,2}=3[/mm]
Ja, 3 ist einfache Nullstelle.
Bei dieser ähnlichen Aufgabe ist [mm]3^{k}[/mm] eine Lösung
der homogenen Differenzengleichung, daher auch der Ansatz
[mm]Yp_{k}=A*k \cdot{}3^{k}[/mm]
Während bei der gelösten Aufgabe [mm]2^{k}[/mm]
keine Lösung der homogenen Differenzengleichung ist.
Daher hier der Ansatz: [mm]Yp_{k}=A*2^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Dany96 |
Hallo, wenn die Nullstellen imaginär sind gilt also das Lösungsschema für die inhomogene Dgzl:
[mm] Y_{k}= c_{1}\cdot{}r^{k}\cdot{}\cos\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}r^{k}\cdot{}\sin\left( \ \beta\left(k\right) \ \right) [/mm]
wie schaut sie aus für
1) Einfache Nullstelle ( bsp.: [mm] \lamda_{1,2}=1 [/mm] )
2) "normale" Nullstellen (also von einander verschiedene)
3) "Mischnullstellen (zum Beispiel [mm] \lamda_{1,2}=1 \lambda_{3}=5)
[/mm]
Wäre diese Darstellung richtig
1) [mm] Y_{k}=C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{1}\cdot [/mm] k [mm] \cdot \lambda_{1}^{k}
[/mm]
[mm] 2)Y_{k}= C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{2}\cdot \lambda_{2}^{k}+C_{3}\cdot \lambda_{3}^{k}+...
[/mm]
3) Mischung aus 1+2 etwa:
[mm] Y_{k}=C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{1}\cdot [/mm] k [mm] \cdot \lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+C_{3}\cdot \lambda_{3}^{k}
[/mm]
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Hallo Dany96,
> Hallo, wenn die Nullstellen imaginär sind gilt also das
> Lösungsschema für die inhomogene Dgzl:
>
> [mm]Y_{k}= c_{1}\cdot{}r^{k}\cdot{}\cos\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)+c_{2}\cdot{}r^{k}\cdot{}\sin\left( \ \beta\left(k\right) \ \right)[/mm]
>
>
> wie schaut sie aus für
>
> 1) Einfache Nullstelle ( bsp.: [mm]\lamda_{1,2}=1[/mm] )
> 2) "normale" Nullstellen (also von einander verschiedene)
> 3) "Mischnullstellen (zum Beispiel [mm]\lamda_{1,2}=1 \lambda_{3}=5)[/mm]
>
> Wäre diese Darstellung richtig
>
> 1) [mm]Y_{k}=C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{1}\cdot[/mm] k [mm]\cdot \lambda_{1}^{k}[/mm]
>
Hier hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen.
[mm]Y_{k}=C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{\blue{2}}\cdot[/mm] k [mm]\cdot \lambda_{1}^{k}[/mm]
> [mm]2)Y_{k}= C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{2}\cdot \lambda_{2}^{k}+C_{3}\cdot \lambda_{3}^{k}+...[/mm]
>
> 3) Mischung aus 1+2 etwa:
> [mm]Y_{k}=C_{1}\cdot \lambda_{1}^{k}+C_{1}\cdot[/mm] k [mm]\cdot \lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+C_{3}\cdot \lambda_{3}^{k}[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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