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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 13.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Dzgl.
[mm] Y_{k+1}=9^{k} \cdot Y_{k}+3^{k^{2}} [/mm] |
Gut, ich soll also für den Fall >1 und <1 berechnen also:
k>1
[mm] Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}+ \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1}
[/mm]
und für k<1
[mm] Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=1}^{1-k} (9^{1-i})^{-1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{1-k} 3^{(1-i)^{2} }\produkt_{j=i}^{1-k} (9^{1-j})^{-1}
[/mm]
Gibt es hier eine Art "Trick" (unformung die immer gilt), wie bei der vorherigen Aufgabe? Dort konnte man
[mm] \produkt_{j=i+1}^{k-1} [/mm] (j+1)² dank ( [mm] \bruch{a!}{b!})^{2} [/mm] schreiben als [mm] (\bruch{k!}{(i+1)!})^{2}
[/mm]
gibt es hier etwas ähnliches was mir die Rechenarbeit erleichtert?
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Hallo Sandy90,
> Lösen Sie die Dzgl.
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> [mm]Y_{k+1}=9^{k} \cdot Y_{k}+3^{k^{2}}[/mm]
>
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> Gut, ich soll also für den Fall >1 und <1 berechnen also:
>
> k>1
>
> [mm]Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}+ \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1}[/mm]
>
> und für k<1
>
> [mm]Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=1}^{1-k} (9^{1-i})^{-1}[/mm] -
> [mm]\summe_{i=1}^{1-k} 3^{(1-i)^{2} }\produkt_{j=i}^{1-k} (9^{1-j})^{-1}[/mm]
>
> Gibt es hier eine Art "Trick" (unformung die immer gilt),
> wie bei der vorherigen Aufgabe? Dort konnte man
>
> [mm]\produkt_{j=i+1}^{k-1}[/mm] (j+1)² dank ( [mm]\bruch{a!}{b!})^{2}[/mm]
> schreiben als [mm](\bruch{k!}{(i+1)!})^{2}[/mm]
>
> gibt es hier etwas ähnliches was mir die Rechenarbeit
> erleichtert?
Schreibe das Produkt zunächst aus:
[mm]\produkt_{j=i}^{1-k} (9^{1-j})^{-1}=\left(\bruch{1}{9}\right)^{1-i}* \ ... \ * \left(\bruch{1}{9}\right)^{k}=\left(\bruch{1}{9}\right)^{\summe_{l=1-i}^{k}l[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
ok... und
[mm] \left(\bruch{1}{9}\right)^{\summe_{l=1-i}^{k}l }
[/mm]
der Teil
[mm] \summe_{l=1-i}^{k}l
[/mm]
erinnert an
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k
wenn ich eine indextransfortion durchführe dann
[mm] \summe_{k=1}^{k-i} l_{k}= \bruch{(k-i)(k-i+1)}{2}
[/mm]
??
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Hallo Sandy,
da ist Dir ein Fehler unterlaufen.
> ok... und
> [mm]\left(\bruch{1}{9}\right)^{\summe_{l=1-i}^{k}l }[/mm]
>
> der Teil
> [mm]\summe_{l=1-i}^{k}l[/mm]
>
> erinnert an
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k
Richtig.
> wenn ich eine indextransformation durchführe dann
>
> [mm]\summe_{k=1}^{k-i} l_{k}= \bruch{(k-i)(k-i+1)}{2}[/mm]
>
> ??
Nein. Die Gleichung als solche stimmt zwar, aber das ist nicht mehr die zu behandelnde Summe. Mach erst eine Aufspaltung:
[mm] \summe_{l=1-i}^{k}l=\summe_{l=1-i}^{0}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=0}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=1}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}=-\bruch{i(i-1)}{2}+\bruch{k(k+1)}{2}=\cdots
[/mm]
Falls das irgendwofür praktisch ist, kannst Du dieses Ergebnis in einer der drei folgenden Weisen zusammenfassen:
[mm] \cdots=\bruch{(k+i+1)(k-i)}{2}+i=\bruch{(k+i-1)(k-i)}{2}+k=\bruch{(k+i)(k-i)+k+i}{2}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hallo,
danke für die Antwort. Wie genau funktionier die Aufspaltung
$ [mm] \summe_{l=1-i}^{k}l=\summe_{l=1-i}^{0}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=0}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=1}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}=-\bruch{i(i-1)}{2}+\bruch{k(k+1)}{2}=\cdots [/mm] $
Bis hierhin kann ich es nachvollziehen:
[mm] \summe_{l=1-i}^{k}l=\summe_{l=1-i}^{0}l+\summe_{l=1}^{k}l
[/mm]
aber wie funktioniert die restliche aufteilung?
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Hallo nochmal,
ich frage mich gerade, ob ich eigentlich zu Recht [mm] i,k\in\IN [/mm] angenommen habe. Wenn nicht, wird es noch etwas komplizierter, aber das Prinzip bleibt.
> danke für die Antwort. Wie genau funktionier die
> Aufspaltung
>
> [mm]\summe_{l=1-i}^{k}l=\summe_{l=1-i}^{0}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=0}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}l= -\summe_{l=1}^{i-1}l+\summe_{l=1}^{k}=-\bruch{i(i-1)}{2}+\bruch{k(k+1)}{2}=\cdots[/mm]
>
> Bis hierhin kann ich es nachvollziehen:
>
> [mm]\summe_{l=1-i}^{k}l=\summe_{l=1-i}^{0}l+\summe_{l=1}^{k}l[/mm]
>
> aber wie funktioniert die restliche aufteilung?
Eigentlich wird nur die erste Summe umgeschrieben. Wenn ich von -7 bis 0 summiere, dann ist das das gleiche wie von 0 bis 7, nur negativ. Und die Null kann ich eigentlich auch rausschmeißen. Nur steht oben statt -7 eben 1-i, aber sonst geht es genauso.
Man kann das natürlich auch anders herleiten.
Generell ist ja für [mm] a,b\in\IZ [/mm] mit [mm] b\ge{a} [/mm] folgendes wahr:
[mm] \summe_{j=a}^{b}j=(b-a+1)*a+\summe_{j=0}^{b-a}j=(b-a+1)*a+\bruch{(b-a)(b-a+1)}{2}=\bruch{(b+a)(b-a+1)}{2}
[/mm]
Das ist vielleicht einfacher. Die Formel ist sehr leicht herzuleiten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Nach diesen Tipp möchte ich versuchen es wie folgt zu lösen:
Für K>1 habe ich also:
[mm] Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}+ \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1} [/mm]
Ich trenne erstmal, beginne mit Teil:
2 [mm] \cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}
[/mm]
Bearte erst nur
[mm] \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1} =9^{1} \cdot [/mm] ... [mm] \cdot 9^{k-1}= 9^{\summe_{i=1}^{k-1}i}=3^{k(k-1)}
[/mm]
dh. die Lösung ist etwas mit
[mm] Y_{k}= 2*3^{k(k-1)}+...
[/mm]
betrachte jetzt:
[mm] \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1} [/mm]
erstmal nur
[mm] \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1} =9^{i+2} \cdot [/mm] ... [mm] c\dot 9^{k-1}= 9^{\summe_{i=i+2}^{k-1}i}= 3^{(k+1+i)(k-2-i)} [/mm] (wegen [mm] \summe_{i=m}^{n}i= \bruch{(n+m)(n-m+1)}{2})
[/mm]
nun
[mm] \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}}= 3^{1}+...+3^{(k-1)}^{2}
[/mm]
hier bin ich mir nicht sicher ob ich folgendes machen darf
[mm] 3^{1}+...+3^{(k-1)}^{2}= 3^{\summe_{i=1}^{(k-1)²}i} [/mm] ...
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Hallo Sandy90,
> Nach diesen Tipp möchte ich versuchen es wie folgt zu
> lösen:
>
> Für K>1 habe ich also:
>
> [mm]Y_{k}= 2\cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}+ \summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1}[/mm]
>
> Ich trenne erstmal, beginne mit Teil:
>
> 2 [mm]\cdot \produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1}[/mm]
>
> Bearte erst nur
>
> [mm]\produkt_{i=0}^{k-2} 9^{i+1} =9^{1} \cdot[/mm] ... [mm]\cdot 9^{k-1}= 9^{\summe_{i=1}^{k-1}i}=3^{k(k-1)}[/mm]
>
> dh. die Lösung ist etwas mit
>
> [mm]Y_{k}= 2*3^{k(k-1)}+...[/mm]
>
> betrachte jetzt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}} \produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1}[/mm]
>
> erstmal nur
>
> [mm]\produkt_{j=i+1}^{k-2} 9^{j+1} =9^{i+2} \cdot[/mm] ... [mm]c\dot 9^{k-1}= 9^{\summe_{i=i+2}^{k-1}i}= 3^{(k+1+i)(k-2-i)}[/mm]
> (wegen [mm]\summe_{i=m}^{n}i= \bruch{(n+m)(n-m+1)}{2})[/mm]
>
> nun
>
> [mm]\summe_{i=0}^{k-2} 3^{(i+1)^{2}}= 3^{1}+...+3^{(k-1)}^{2}[/mm]
>
> hier bin ich mir nicht sicher ob ich folgendes machen darf
>
> [mm]3^{1}+...+3^{(k-1)}^{2}= 3^{\summe_{i=1}^{(k-1)²}i}[/mm] ...
>
Das darfst Du nicht machen.
Gruss
MathePower
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