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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Differenzengleichung allg.Lsg.
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Differenzengleichung allg.Lsg.: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:27 Sa 30.07.2005
Autor: Funny

Hallo,

könnte mir jemand von Euch sagen, wie ich z.B. von folgender Differenzengleichung die allgemeine Lösung bestimme? Hatte so ne Aufgabe nämlich noch nie. Danke

yn+4 - 3yn+3 - 6yn+2 + 28yn+1 - 24yn = 0

(P.S.: Die ganzen "n´s" sollten natürlich kleiner geschrieben sein, habe ich auf die schnelle nicht hinbekommen. Sorry)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differenzengleichung allg.Lsg.: Charakteristisches Polynom
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Sa 30.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Funny,

zunächst einmal [willkommenmr] !!


> yn+4 - 3yn+3 - 6yn+2 + 28yn+1 - 24yn = 0
>  
> (P.S.: Die ganzen "n´s" sollten natürlich kleiner
> geschrieben sein, habe ich auf die schnelle nicht
> hinbekommen. Sorry)

Schreibe einfach mal y_{n+4} , daraus wird dann [mm]y_{n+4}[/mm] !


Nun zu Deiner Aufgabe ...

Lies Dir doch mal diese Frage mit Antwort durch!


Du mußt aus Deiner Differenzengleichung also zunächst das charakteristische Polynom aufstellen und die Nullstellen bestimmen.

[mm] $y_{n+4} [/mm] - [mm] 3*y_{n+3} [/mm] - [mm] 6*y_{n+2} [/mm] + [mm] 28*y_{n+1} [/mm] - [mm] 24*y_{n} [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\Rightarrow$ $k^4 [/mm] - [mm] 3*k^3 [/mm] - [mm] 6*k^2 [/mm] + 28*k - 24 \ = \ 0$

Durch Probieren/Raten (ganzzahlige Teiler der Absolutgliedes $-24_$) und MBPolynomdivision erhält man folgende Nullstellen:

[mm] $k_{1,2,3} [/mm] \ = \ 2$

[mm] $k_4 [/mm] \ = \ -3$


Damit wird Deine Folgenvorschrift zu:

[mm] $y_n [/mm] \ = \ [mm] a*2^n [/mm] + [mm] b*n*2^n [/mm] + [mm] c*n^2*2^n [/mm] + [mm] d*(-3)^n$ [/mm]


Durch Einsetzen der Anfangswerte (die Du uns leider nicht verraten hast), kannst Du dann über das entstehende lineare Gleichungssystem die entsprechenden Koeffizienten $a_$ , $b_$ , $c_$ und $d_$ bestimmen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Differenzengleichung allg.Lsg.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Sa 30.07.2005
Autor: Funny

Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Es sind keine Anfangswerte gegeben, da die Gleichung nicht gelöst werden muss. Es soll "lediglich" die allgemeine Lösung aufgezeigt werden.
Für Differenzengleichungen 1.Ordnung kann ich das ja noch (= homogene + partielle Lösung), aber hierfür habe ich keine Ahnung...
Bezug
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