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| Aufgabe | Berechnen Sie, für welche a [mm] \in \IR^+ [/mm] die Differenzengleichung
[mm] y_{t}=ay_{t-1} [/mm] - [mm] 4a^4y_{t-2} [/mm] eine gedämpfte Schwingung als Lösung hat. |
Nach der Umstellung komme ich auf:
[mm] y_{t+2}-ay_{t+1}+4a^4y_{t}=0
[/mm]
mein p ist somit -a und mein q ist [mm] 4a^4.
[/mm]
--> d= -(-a)/2 [mm] \pm \wurzel{(-a)^2/4 -4a^4}
[/mm]
Weiter komme ich nicht.
Kann mir jemand erklären was gelten muss (unabhängig von der Lösung) und wie ich weiter vorgehe?
Die Lösung soll sein:
[mm] a^2/4 [/mm] - [mm] 4a^4 [/mm] > 0 --> 0 < [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel{a^2/4 -4a^4} [/mm] < a/2 = [mm] \alpha
[/mm]
--> [mm] (\alpha+\beta) [/mm] > 0 und [mm] (\alpha-\beta) [/mm] > 0. Keine Schwingung.
Es muss gelten: [mm] a^2/4 [/mm] - [mm] 4a^4 [/mm] < 0 und [mm] \wurzel{4a^4} [/mm] <1.
Somit 1/4 - [mm] 4a^2 [/mm] < 0 --> |a| > 1/4 und |a| < [mm] 1/\wurzel{2}.
[/mm]
Also 1/4 < a < [mm] 1/\wurzel{2}.
[/mm]
Gruss
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Hallo Cyantific,
> Berechnen Sie, für welche a [mm]\in \IR^+[/mm] die
> Differenzengleichung
> [mm]y_{t}=ay_{t-1}[/mm] - [mm]4a^4y_{t-2}[/mm] eine gedämpfte Schwingung als
> Lösung hat.
> Nach der Umstellung komme ich auf:
>
> [mm]y_{t+2}-ay_{t+1}+4a^4y_{t}=0[/mm]
>
> mein p ist somit -a und mein q ist [mm]4a^4.[/mm]
>
> --> d= -(-a)/2 [mm]\pm \wurzel{(-a)^2/4 -4a^4}[/mm]
>
> Weiter komme ich nicht.
> Kann mir jemand erklären was gelten muss (unabhängig von
> der Lösung) und wie ich weiter vorgehe?
Untersuche den Ausdruck unter der Wurzel.
Um eine Schwingung als Lösung zu erhalten,
muß der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als 0 sein.
>
> Die Lösung soll sein:
>
> [mm]a^2/4[/mm] - [mm]4a^4[/mm] > 0 --> 0 < [mm]\beta[/mm] = [mm]\wurzel{a^2/4 -4a^4}[/mm] < a/2
> = [mm]\alpha[/mm]
> --> [mm](\alpha+\beta)[/mm] > 0 und [mm](\alpha-\beta)[/mm] > 0. Keine
> Schwingung.
>
> Es muss gelten: [mm]a^2/4[/mm] - [mm]4a^4[/mm] < 0 und [mm]\wurzel{4a^4}[/mm] <1.
>
> Somit 1/4 - [mm]4a^2[/mm] < 0 --> |a| > 1/4 und |a| < [mm]1/\wurzel{2}.[/mm]
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> Also 1/4 < a < [mm]1/\wurzel{2}.[/mm]
>
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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Hmmm.... Nochmal:
[mm] a^2/4 -4a^4 [/mm] > 0 --> 0 < [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel{a^2/4 -4a^4} [/mm] < a/2 = [mm] \alpha
[/mm]
Ausdruck unter der Wurzel > 0, somit [mm] \beta [/mm] > 0, aber < [mm] \alpha. [/mm] Wieso kleiner Alpha?
--> [mm] (\alpha+\beta) [/mm] > 0 und [mm] (\alpha-\beta) [/mm] > 0. Keine Schwingung.
Weitere Interpretation: Wenn [mm] (\alpha+\beta) [/mm] > 0 und [mm] (\alpha-\beta) [/mm] > 0. Keine Schwingung. Das ist eig. klar.
Es muss also gelten: [mm] a^2/4 -4a^4 [/mm] < 0 und [mm] \wurzel{4a^4} [/mm] < 1.
Mathepower sagte der Ausdruck der Wurzel müsse <0 sein, dass verstehe ich, aber warum [mm] \wurzel{4a^4} [/mm] < 1? Hä?
Somit 1/4 [mm] -4a^4 [/mm] < 0 --> |a| > 1/4 und |a| < [mm] 1/\wurzel{2}.
[/mm]
Also 1/4 < a < [mm] 1/\wurzel{2}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 04.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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