Differenzenquotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Sa 10.12.2005 | | Autor: | tempo |
hi "matheräumler"
habe bei folgenden aufgaben probleme:
1. Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt gerade (ungerade) falls f(x)=f(-x) (bzw. f(x)=-f(-x)) für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Zeigen Sie, daß die Ableitung einer geraden (ungeraden) Funktion ungerade (gerade) ist.
2. Die Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] sei in a [mm] \in [/mm] D differenzierbar. Zeigen Sie. daß
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}(f(a+h)-f(a-h))/2h
[/mm]
existiert und mit f'(a) übereinstimmt.
also ich bin da mit dem differenzenquotient (tipp vom prof.) drangegangen und habe das gefühl das ich "kurz vorm ziel irgendwie die ziellinie nicht sehe". und zwar habe ich f'(x) = [mm] \bruch{ f(x) - f(x_0) }{ x-x_0 } [/mm] (diff.quotient) und mit x - [mm] x_0 [/mm] = h -> [mm] \bruch{ f(h+x_0) - f(x_0) }{h} [/mm] und da ich jetzt erstmal eine gerade fkt. betrachte gilt ja f(x)=f(-x) also [mm] \bruch{ f(h+x_0) - f(x_0) }{h} [/mm] = [mm] \bruch{ f(-h-x_0) - f(-x_0)}{h} [/mm] und da müsste ich doch jetzt irgendwie auf eine ungerade fkt. kommen also -f(-x) ??? aber ich sehe das leider nicht. (der rückweg ist ja dann genauso, bloß mit ungerade auf gerade fkt...)
und bei der 2. aufgabe habe ich zum lim "0" addiert also steht nach lim=: [mm] \bruch{f(a+h) - f(a) + f(a) - f(a-h)}{2h} [/mm] und da es für die steigung im punkt a egal ist "ob ich sie in die pos. richtung oder negative richtung betrachte" ist also [mm] \bruch{ f(a+h)-f(a) }{2h} [/mm] = [mm] \bruch{ f(a)-f(a-h) }{2h} [/mm] darf ich das so ausdrücken? und das wäre ja [mm] \bruch{ f'(a) }{2} [/mm] + [mm] \bruch{ f'(a) }{2} [/mm] also gleich f'(a) ?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tempo!
Die Grundidee ist auf jeden Fall richtig. Aber die Darstellung nicht ganz.
Es gilt schließlich nicht: [mm]\bruch{ f(a+h)-f(a) }{2h}[/mm] = [mm]\bruch{ f(a)-f(a-h) }{2h}[/mm] !!
Du kannst aber schreiben (und das meintest Du ja auch):
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{ f(a+h)-f(a) }{2h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{ f(a)-f(a-h) }{2h} \ = \ \bruch{1}{2}f'(a)[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tempo!
Ich zeige Dir mal den Weg für $f(x)_$ gerade, d.h. es gilt: $f(-x) \ = \ f(x)$ :
$f(-x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-x+h)-f(-x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-(x-h))-f(-x)}{h}$
[/mm]
Nun die Bedingung von oben einsetzen:
$f'(-x) \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x-h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Nun ersetze ich $h_$ durch [mm] $h^{\star} [/mm] \ := \ -h$ , um den Differenzenquotienten für $f'(x)_$ zu erhalten:
$f'(-x) \ = \ [mm] \limes_{h^{\star} \rightarrow 0}\bruch{f(x+h^{\star})-f(x)}{-h^{\star}} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\underbrace{\limes_{h^{\star} \rightarrow 0}\bruch{f(x+h^{\star})-f(x)}{h^{\star}}}_{= \ f'(x)}$
[/mm]
$f'(-x) \ = \ (-1)*f'(x) \ = \ -f'(x)$ q.e.d.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Sa 10.12.2005 | | Autor: | tempo |
AHHH (bin ich bescheuert?!) (bitte keine antwort auf diese "unfrage" ;) ) habe mir gestern ja sogar skizzen zu geraden fkt. gemacht und dann sehe ich nicht das die (-1) negativ ist!!! oh man oh man (wo hab ich denn da hingeschaut)!
-danke Loddar!
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