Differenzialgleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Di 15.07.2008 | | Autor: | flummy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen
bin neu in diesem forum
studiere mechatronik im 2.semester und verzweifel grad über den differentzialen*seufz*
folgende aufgabe raubt mir meinen schlaf:
ableitung folgender funktion
g(x) = [mm] x^2*cot(x^2)/e^3x
[/mm]
ich habe zuerst alle teile in einzelne funktionen aufgeteilt
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] h(x)=cot(x^2)
[/mm]
k(x)=e^3x
dann ist eine Produktgleichung: f(x)*h(x)
und die Qouitentengleichung dann
f(x)*h(x)/k(x)
ich schreib meinen lösungsweg mal in formeln und zahlen auf:
g´(x)= [mm] [2x*cot(x^2)+x^2*(cot(x^2))']'/e^3x
[/mm]
daraus folgt dann wieder die Umkehrung um auf die Division zu kommen, allerdings tue ich mich schon schwer
[mm] [2x*cot(x^2)+x^2*(cot(x^2)']' [/mm] aufzulösen und zurechtzukürzen um es in die qouitentengleichung einzubauen
für eine herleitung *neugierigguck*
und vorallem eine erklärung wäre ich sehr dankbar:o)
vielen danke für eure hilfe
viele grüsse
von der kleenen
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Hallo Bianca,
das ist ja wirklich ein Ungetüm - schrecklich 
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo zusammen
> bin neu in diesem forum
> studiere mechatronik im 2.semester und verzweifel grad über
> den differentzialen*seufz*
> folgende aufgabe raubt mir meinen schlaf:
>
> ableitung folgender funktion
> g(x) = [mm]x^2*cot(x^2)/e^3x[/mm]
Du meinst sicher [mm] $g(x)=\bruch{x^2\cdot{}\cot(x^2)}{e^{3x}}$ [/mm] ??
Setze die Exponenten in geschweifte Klammern, den obigen Ausdruck kannst du so eingeben: g(x)=\bruch{x^2\cdot{}\cot(x^2)}{e^{3x}}
> ich habe zuerst alle teile in einzelne funktionen
> aufgeteilt
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
> [mm]h(x)=cot(x^2)[/mm]
> k(x)=e^3x
Ja, das kannst du machen
>
> dann ist eine Produktgleichung: f(x)*h(x)
> und die Qouitentengleichung dann
> f(x)*h(x)/k(x)
Bis hierher ok!
>
> ich schreib meinen lösungsweg mal in formeln und zahlen
> auf:
> g´(x)= [mm][2x*cot(x^2)+x^2*(cot(x^2))']'/e^3x[/mm]
Das verstehe ich nicht so richtig.
Du hast doch als ganz äußere Form einen Quotienten [mm] $g(x)=\bruch{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$
[/mm]
Dann ist doch mit der Quotientenregel [mm] $g'(x)=\bruch{\text{Zähler}'\cdot{}\text{Nenner}-\text{Zähler}\cdot{}\text{Nenner}'}{(\text{Nenner})^2}$
[/mm]
Bilde nun mal die ganzen Teilausdrücke, die du hierfür benötigst.
Am einfachsten ist [mm] $(\text{Nenner})^2$ [/mm]
Den [mm] $\text{Zähler}$ [/mm] hast du als Produkt [mm] $f(x)\cdot{}h(x)$ [/mm] geschrieben, also musst du die Ableitung [mm] $\text{Zähler}'$ [/mm] nach der Produktregel machen:
[mm] $\text{Zähler}'=f'(x)\cdot{}h(x)+f(x)\cdot{}h'(x)=\left[x^2\right]'\cdot{}\cot(x^2)+x^2\cdot{}\left[\cot(x^2)\right]'$
[/mm]
Hier wird's wieder lästig, um die Teilableitung [mm] $\left[\cot(x^2)\right]'$ [/mm] zu berechnen, brauchst du die Kettenregel
Probier's mal ... - wird ein bissl Schreibkram
Dann brauchst du noch die Ableitung des Nenners [mm] $\text{Nenner}'=\left[e^{3x}\right]'$
[/mm]
Das kannst du entweder so durch Hinsehen oder per Kettenregel machen
Dann alles gemäß der Quotientenregel zusammenkleistern ...
>
> daraus folgt dann wieder die Umkehrung um auf die Division
> zu kommen, ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was genau meinst du damit?
Ich meine, natürlich kannst du deine Funktion als "reines Produkt" schreiben
[mm] $g(x)=x^2\cdot{}\cot(x^2)\cdot{}e^{-3x}$
[/mm]
Aber da hast du nun 3 Faktoren, die du in die Produktregel einbauen musst. Ob das einfacher wird als der obige Weg über die Quotientenregel, bezweifle ich ein wenig
Kann aber natürlich sein ...
> allerdings tue ich mich schon schwer
> [mm][2x*cot(x^2)+x^2*(cot(x^2)']'[/mm]
Da ist doch ein " ' " zuviel ...
> aufzulösen und zurechtzukürzen um es in die qouitentengleichung
> einzubauen
Ja, siehe oben, für das [mm] $\left[\cot(x^2)\right]'$ [/mm] musst du die Kettenregel bemühen, [mm] $\cot$=äußere [/mm] Funktion, [mm] $x^2$=innere [/mm] Funktion ...
>
>
> für eine herleitung *neugierigguck*
> und vorallem eine erklärung wäre ich sehr dankbar:o)
Ja, die hast du nun, ich hoffe, es klappt mit den Hinweisen, es wird ne Menge Schreibkram, aber versuch dich mal dran, du kannst ja dein Ergebnis oder Zwischenergebnisse hier posten, dann gucken wir nochmal drüber
> vielen danke für eure hilfe
>
> viele grüsse
> von der kleenen
Viel Erfolg und LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 16.07.2008 | | Autor: | flummy |
also ich hab nun folgendes gerechnet:
g(x) = [mm] x^2*cot(x^2)/e^{3x}
[/mm]
f(x) = [mm] x^2 [/mm] f'(x) = 2x
h(x) = [mm] cot(x^2) [/mm] h'(x) = [mm] 2x*-1/sin2(x^2) [/mm] = [mm] -2x/sin2(x^2)
[/mm]
k(x) = [mm] e^{3x} [/mm] k'(x) = [mm] 3*e^{3x}
[/mm]
Zähler > Produktregel
m'(x) = f'(x)*h(x)+f(x)*h'(x)
m'(x) = [mm] 2x*cot(x^2)+x^2*-2x/sin2(x^2)
[/mm]
m'(x) = [mm] 2x*(cot(x^2)+x^2*-1/sin2(x^2)
[/mm]
m'(x) = [mm] 2x*(cot(x^2)-x^2/sin2(x^2))
[/mm]
g(x) = m'(x)/k(x)
g'(x) = [mm] (m'(x))'*k(x)-m'(x)*k'(x)/k^2(x)
[/mm]
g'(x) = [mm] (2x*(cot(x^2)-x^2/sin2(x^2))'*e^{3x}-2x*(cot(x^2)-x^2/sin2(x^2)*3*e^{3x}/(e^{3x})^2
[/mm]
g'(x) [mm] =e^{3x}*((2x*(cot(x^2)-x^2/sin2(x^2))'-2x*(cot(x^2)-x^2/sin2(x^2)*3/(e^{3x})^2
[/mm]
boah
*schwirr*
kann bitte noch mal jemand draufschauen
und mir bitte korrekturhilfe bieten
danke schön:0)
liebe grüssele
Bianca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 16.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Bianca
> g(x) = [mm]x^2*cot(x^2)/e^{3x}[/mm]
> f(x) = [mm]x^2[/mm] f'(x) = 2x
> h(x) = [mm]cot(x^2)[/mm] h'(x) = [mm]2x*-1/sin2(x^2)[/mm] = [mm]-2x/sin2(x^2)[/mm]
überall wo du sin2 schreibst meinst du hoffentlich [mm] sin^2
[/mm]
> k(x) = [mm]e^{3x}[/mm] k'(x) = [mm]3*e^{3x}[/mm]
bis hierher richtig!
> Zähler > Produktregel
> m'(x) = f'(x)*h(x)+f(x)*h'(x)
> m'(x) = [mm]2x*cot(x^2)+x^2*-2x/sin2(x^2)[/mm]
richtig
> m'(x) = [mm]2x*(cot(x^2)+x^2*-1/sin2(x^2)[/mm]
falsch, ein armes x ist verschwunden ! richtig ist:
m'(x) = [mm][mm] 2x*(cot(x^2)-x^3/sin^2(x^2))
[/mm]
m'(x) = [mm]2x*(cot(x^2)-x^3/sin2(x^2))[/mm]
ab hier ist jetzt alles falsch!
f(x)=m(x)/k(x) Quotientenregel:
[mm] f'(x)=\bruch{m'(x)*k(x)-m(x)*k'(x)}{k^2(x)}
[/mm]
es wird insbesondere dein m nicht ein zweites mal abgeleitet.
Alle Einzelteile des Bruches hast du schon, musst also nur noch alles brav eintragen.
ich find es einfacher statt deinem k(x) im Nenner [mm] j(x)=e^{-3x} j'(x)=-3*e^{-3x} [/mm] im Zähler zu schreiben, dann ist
f'=m'*j+m'j' m,m',j,j' hast du.
> g(x) = m'(x)/k(x)
das ist schon falsch, deshalb auch was noch kommt
Gruss leduart
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