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Forum "Differentialgleichungen" - Differenzialgleichung
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Differenzialgleichung: Entwicklung von y_t
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Do 09.07.2009
Autor: Aleksa

Aufgabe
lösen Sie die DGL: [mm] y_{t}= [/mm] 1/4 [mm] y_{t-1} [/mm] +3 mit [mm] y_{0}=3. [/mm]
Wie entwickelt sich [mm] y_{t} [/mm] auf lange Sicht?

Hallo Leute,

ich habe diese aufgabe vor mir liegen und weiß absolut nicht wie ich das hier alles auflösen muss.

kann mir einer helfen??

danke

        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Do 09.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> lösen Sie die DGL: [mm]y_{t}=[/mm] 1/4 [mm]y_{t-1}[/mm] +3 mit [mm]y_{0}=3.[/mm]
>  Wie entwickelt sich [mm]y_{t}[/mm] auf lange Sicht?


Hallo Aleksa,

es handelt sich hier nicht um eine Diffe-
renzialgleichung, sondern um eine Zah-
lenfolge, die durch eine Rekursionsformel
definiert ist.
Du kennst das Startglied [mm] y_0=3 [/mm] und das
Rezept, wie aus einem Glied der Folge das
nächste berechnet wird.

Ich würde dir empfehlen, zunächst einmal
etwa die Glieder [mm] y_1 [/mm] bis [mm] y_4 [/mm] auszurechnen,
und zwar nicht als Dezimalzahlen, sondern
in Bruchform. Wenn du die Ergebnisse
betrachtest, kannst du gewisse Regelmäßig-
keiten feststellen, die du in einer Formel
für [mm] y_t [/mm] festhalten kannst.
Durch vollständige Induktion lässt sich
eine solche Formel beweisen.

Das Verhalten für [mm] t\to\infty [/mm] wird dann ebenfalls
leicht zu erkennen sein.


LG    Al-Chw.

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