Differenzialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mi 17.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo zusammen,
Ich habe ein Problem mit Differenzialgleichugen. DGL 1.Ordung habe ich noch einigermassen begriffen, aber DGL 2. Ordnung zu lösen bekomm ich nicht hin. Zunächst habe ich eine Übungsaufgabe, mit der ich versuchen möchte die Theorie umzusetzen.
$y''-4y'+5y=2cos(3x)$
Kann mir bitte jemand da weiterhelfen und wenn möglich angeben, wie ich zu einer einfachen und verständlichen Theorie komme? Wäre wirklich super.
Gruss Rotzel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 18.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo Julius,
zunächst mal besten Dank für den Link. Ein Stückweit ist mir der Sachverhalt etwas klarer. Ich versuche mich jetzt mal an meiner Aufgabe: $ y''-4y'+5y=2cos(3x) $
1) charakteristisches Polynom aufstellen
$y= [mm] e^{ \lambda*x}$
[/mm]
[mm] $y'=\lambda*e^{ \lambda*x}$
[/mm]
[mm] $y''=\lambda^{2}*e^{ \lambda*x}$
[/mm]
[mm] $\lambda^{2}*e^{ \lambda*x}-4*\lambda*e^{ \lambda*x}+5*e^{ \lambda*x}=0$
[/mm]
$ [mm] \lambda^{2}-4* \lambda+5=0$ \Rightarrow [/mm] gibt komplexe Lösung mit Nullstellen [mm] $\lambda_{1}=2+i$ [/mm] und [mm] $\lambda_{2}=2-i$
[/mm]
Da ich weiss [mm] $e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x)$ [/mm] kann ich einsetzen [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] $y=C_{1}*e^{(2-i)*x}+C_{2}*e^{(2+i)*x}$ [/mm]
Jetzt habe ich das erste Problem. Wie kann ich jetzt das ganze mit dem Additionstheorem umformen?
Gruss Rotzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 18.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Aus den komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms erhält man ein reelles Hauptsystem an Lösungen, indem man zu einer komplexen Nullstelle [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] + iv$ von $k$-ter Ordnung die $k$ Lösungen
[mm] $e^{\lambda x}, xe^{\lambda x},\ldots, x^{k-1}e^{\lambda x}$
[/mm]
in Real-und Imaginärteil aufspaltet:
[mm] $x^q e^{\mu x} \cos(vx)$ [/mm] , [mm] $x^qe^{\mu x} \sin(vx)$ $(q=0,1,\ldots,k-1)$
[/mm]
(und die $k$ zu [mm] $\overline{\lambda}$ [/mm] gehörenden Lösungen streicht).
Bei dir bedeutet dass, das ein reelles Hauptsystem wie folgt aussieht:
[mm] $f_1(x)=e^{2x} \cos(x)$ [/mm] , [mm] $f_2(x)= e^{2x}\sin(x)$.
[/mm]
So, und jetzt weiter im Plan...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Do 18.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo Julius,
danke für deine Geduld, aber etwas kapiere ich immer noch nicht. Was bedeutet hier das q $ [mm] x^q e^{\mu x} \cos(vx) [/mm] $ , $ [mm] x^qe^{\mu x} \sin(vx) [/mm] $ ?
Mal abgesehen davon, wenn ich deine Lösung nehme bekomme ich die homogene Lösung [mm] $y_{h}=C_{1}*e^{2x}*cos(x)+C_{2}*e^{2x}*sin(x)$ [/mm] und soweit ich der Theorie im Link folgen kann, muss ich aus der homogenen Lösung eine partikuläre Lösung machen und erhalte daraus ein Gleichungssystem(GLs). Die Lösungen aus dem GLs kann ich integrieren und bekomme die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.
C wird ersetzt mit u'. Den ersten Ansatz der GLs herzustellen scheint mir noch logisch [mm] $u'_{1}*e^{2x}*cos(x)+u'_{2}*e^{2x}*sin(x)$ [/mm] , aber wie bekomme ich den 2. Ansatz?
Gruss Rotzel
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Hallo rotzel,
> C wird ersetzt mit u'. Den ersten Ansatz der GLs
> herzustellen scheint mir noch logisch
> [mm]u'_{1}*e^{2x}*cos(x)+u'_{2}*e^{2x}*sin(x)[/mm] , aber wie
> bekomme ich den 2. Ansatz?
Das geht viel einfacher:
Für die partikuläre Lösung machst Du den Ansatz [mm]
y_{p} \left( x \right)\; = \;A\;\sin \left( {3x} \right)\; + \;B\;\cos \left( {3x} \right)[/mm]. Diesen setzt Du in die DGL ein und machst einen Koeffiziegntenvergleich. Daraus erhältst Du dann ein Gleichungssystem, aus dem sich die Unbekannten A und B bestimmen lassen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 18.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo MathePower,
momentan stehe ich auf dem Schlauch. $ [mm] y_{p} \left( x \right)\; [/mm] = [mm] \;A\;\sin \left( {3x} \right)\; [/mm] + [mm] \;B\;\cos \left( {3x} \right) [/mm] $ wie bist du auf diese Herleitung gekommen?
Gruss Rotzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen rotzel!
Sieh' Dir mal Deine Störfunktion aus der Aufgabenstellung an.
Diese lautet doch $s(x) \ = \ [mm] 2*\cos(3x)$ [/mm] .
Die partikuläre Lösung [mm] $y_p$ [/mm] hat immer dieselbe Gestalt wie diese Störfunktion (oder auch "Inhomogenität").
Bei den Winkelfunktionen [mm] $\sin(z)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(z)$ [/mm] kommt nun noch hinzu, dass hier dann stets beide Funktionen auftreten können, da ja die eine Funktion auch die Ableitung (Vorzeichen mal ausgenommen) ist.
Und da die Koeffizienten ja bisher unbekannt sind, werden diese zunächst als Variablen eingeführt:
[mm] $y_p [/mm] \ = \ [mm] A*\sin(3x) [/mm] + [mm] B*\cos(3x)$
[/mm]
[mm] $y_p' [/mm] \ = \ [mm] 3A*\cos(3x) [/mm] - [mm] 3B*\sin(3x)$
[/mm]
[mm] $y_p'' [/mm] \ = \ [mm] -9A*\sin(3x) [/mm] - [mm] 9B*\cos(3x)$
[/mm]
Diese Terme nun in die Ausgangs-DGL einsetzen und dann durch Koeffizientenvergleich mit [mm] $2*\sin(3x) [/mm] + [mm] \blue{0}*\cos(3x)$ [/mm] die Werte $A_$ und $B_$ bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 19.08.2005 | | Autor: | rotzel |
Hallo zusammen,
zunächst allen besten Dank für die Unterstützung. Es hat zwar lange gedauert, aber schlussendlich bin ich auf eine Lösung gekommen und habe einen besseren Durchblick bekommen.
Meine Lösung:
Nachdem ich weiss, dass ich die partikuläre Lösung 2mal ableiten muss und in die Ausgangs-DGL einsetzen muss erhalte ich die Koeffizienten A und B: $ (-9A*sin(3x)-9B*cos(3x))- 4*(3A*cos(3x)-3B*sin(3x))+5(A*sin(3x)+B*cos(3x)) =2*cos(3x)$
$ -12A*cos(3x)+12B*sin(3x)+5A*sin(3x)+5B*cos(3x) $ [mm] \Rightarrow [/mm] Koeffizientenvergleich
$cos(3x)*(-4B-12A)+sin(3x)*(-4A+12B)=2*cos(3x)$
$A= [mm] \bruch{-3}{20} [/mm] , B= [mm] \bruch{-1}{20}$
[/mm]
[mm] $y_{p}=\bruch{-3}{20}*sin(3x)-\bruch{1}{20}*cos(3x)$
[/mm]
[mm] $y=y_{h}+y_{p}$ \Rightarrow
[/mm]
[mm] $y=C_{1}\cdot{}e^{2x}\cdot{}cos(x)+C_{2}\cdot{}e^{2x}\cdot{}sin(x)\bruch{-3}{20}*sin(3x)-\bruch{1}{20}*cos(3x)$
[/mm]
Könnt ihr mir zustimmen?
Gruss Rotzel
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Hallo rotzel,
>[mm]y=C_{1}\cdot{}e^{2x}\cdot{}cos(x)+C_{2}\cdot{}e^{2x}\cdot{}sin(x)\bruch{-3}{20}*sin(3x)-\bruch{1}{20}*cos(3x)[/mm]
>
> Könnt ihr mir zustimmen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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