Differenzialgleichung lösen < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Anfangswertproblem:
y'(x) = -x * [mm] y(x)+e^x [/mm] *(x+1) , y(0) = 2
Bestimmen Sie y(1)
a) analytisch durch Variation der Konstanten,
b) numerisch mit dem Euler-Cauchy-Verfahren bei einer Schrittweite von h = 0,1. |
Zu Teil a) habe ich leider überhaupt keine Idee wie und wo ich da anfangen soll.
Vielen Dank. Mfg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallöle,
> Anfangswertproblem:
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> y'(x) = -x * [mm]y(x)+e^x[/mm] *(x+1) , y(0) = 2
>
> Bestimmen Sie y(1)
>
> a) analytisch durch Variation der Konstanten,
>
> b) numerisch mit dem Euler-Cauchy-Verfahren bei einer
> Schrittweite von h = 0,1.
> Der b)-Teil der Aufgabe stellt nicht das Problem dar,
> wobei mich der Faktor y(x) etwas irritiert, da in den
> Beispielaufgaben immer nur y angegeben ist.
Ja, das ist ja kein Problem, denn mit y(x) symbolisiert man ja nur, dass die Funktion y von x abhängig ist. Mach dich deswegen also nicht verrückt.
>
> Zu Teil a) habe ich leider überhaupt keine Idee wie und wo
> ich da anfangen soll.
Löse zunächst die homogene DGL und dann kannst du durch Variateion der Konstanten die inhomogene Gleichung lösen.
Vielleicht hilft dir ja auch diese PDF noch einmal, um das Prinzip besser zu verstehen:
http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m2/dgl/variation/variation-konst-1.pdf
Dort sind einige Beispiele vorgerechnet.
Falls noch Fragen sind, kannst du natürlich jederzeit wieder nachfragen.
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> Vielen Dank. Mfg.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mi 22.01.2014 | | Autor: | daSilva67 |
Leider komm ich mit der Aufgabe immer noch nicht weiter, ... wie löse ich denn dieses homogene DGL ?
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Ich komm bei dieser Aufgabe leider immer noch nicht weiter, selbst die Überführung dieses inhomogenen DGL in ein homogenes DGL scheitert schon. Einfache Beispiele in youtube videos kann ich halbwegs nachvollziehen.
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Hey,
du hast doch diese DGL:
[mm] y'(x)=-x*y(x)+e^x*(x+1)
[/mm]
Dies ist eine DGL 1.Ordnung mit Störfunktion (also inhomogen).
Diese Art von DGL haben allgemein folgende Form:
y'(x)=a(x)y(x)+s(x)
Dabei ist s(x) die Störfunktion. Ist s(x)=0, so nennt man die DGL homogen.
Nun zu deinem Beispiel:
1.) was ist a(x)?
2.) was ist s(x)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Do 23.01.2014 | | Autor: | daSilva67 |
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a(x) = -x
s(x) = [mm] e^x*(x+1)
[/mm]
Mein Problem ist, dass a(x)*y(x) in dem beispiel steht. Ich dachte ich muss alle y auf die linke Seite bringen?
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Hallo,
so stimmts.
Nun hast du als homogene Dgl also $ y'=-xy $
Schreibe $ [mm] y'=\frac [/mm] {dy}{dx} $ und trenne die Variablen ...
Gruß
schachuzipus
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Daraus müsste nun folgen:
y = k * [mm] e^{-1/2 x^2} [/mm] ?
Dann bestimme ich die 1. Ableitung durch Anwednung der Produkt- und Kettenregel:
y' = [mm] k'(x)*e^{-1/2 x^2}+k(x)*-x*e^{-1/2 x^2}
[/mm]
Einsetzen in die homogene DGL: y' = -xy
[mm] k'(x)*e^{-1/2 x^2}-x*k(x)*e^{-1/2 x^2} [/mm] = - x * [mm] k(x)*e^{-1/2 x^2}
[/mm]
Daraus könnte ich nun den Term [mm] -x*k(x)*e^{-1/2 x^2} [/mm] eliminieren, woraus folgt:
[mm] k'(x)*e^{-1/2 x^2} [/mm] = 0
Nur wie komme ich nun weiter? Stimmt mein Rechenweg bisher überhaupt, sry meine Kenntnisse zu DGS stammen bisher zu 90% aus youtube videos...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Daraus müsste nun folgen:
>
> y = k * [mm]e^{-1/2 x^2}[/mm] ?
Ja, das ist die allg. Lösung der hom. Gleichung.
>
> Dann bestimme ich die 1. Ableitung durch Anwednung der
> Produkt- und Kettenregel:
>
> y' = [mm]k'(x)*e^{-1/2 x^2}+k(x)*-x*e^{-1/2 x^2}[/mm]
>
> Einsetzen in die homogene DGL: y' = -xy
Nein. Mit dem Ansatz [mm] y_p(x)=k(x)*e^{-1/2 x^2} [/mm] musst Du in die inhomogene Gleichung eingehen, denn [mm] y_p [/mm] soll doch eine spezielle Lösung der inhom. Gleichung sein !
FRED
>
> [mm]k'(x)*e^{-1/2 x^2}-x*k(x)*e^{-1/2 x^2}[/mm] = - x * [mm]k(x)*e^{-1/2 x^2}[/mm]
>
> Daraus könnte ich nun den Term [mm]-x*k(x)*e^{-1/2 x^2}[/mm]
> eliminieren, woraus folgt:
>
> [mm]k'(x)*e^{-1/2 x^2}[/mm] = 0
>
> Nur wie komme ich nun weiter? Stimmt mein Rechenweg bisher
> überhaupt, sry meine Kenntnisse zu DGS stammen bisher zu
> 90% aus youtube videos...
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Ok also in die inhomogene Ausgangsgleichung einsetzen.
Das müsste dann sein:
[mm] k'(x)*e^{-{1/2}x^2}-x*k(x)*e^{-{1/2}x^2} [/mm] = [mm] -x*k(x)*e^{-{1/2}x^2}+e^x*(x+1)
[/mm]
Also
[mm] k'(x)*e^{-{1/2}x^2} [/mm] = [mm] e^x*(x+1)
[/mm]
[mm] k'(x)=e^{{1/2}x^2}*e^x*(x+1) [/mm] stellt nun die Ableitung der variierten Konstante dar, und diese Funktion muss ich nun integrieren um auf die variierte Konstante zu kommen, richtig? Wenn ja wie?
Mfg.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok also in die inhomogene Ausgangsgleichung einsetzen.
>
> Das müsste dann sein:
>
> [mm]k'(x)*e^{-{1/2}x^2}-x*k(x)*e^{-{1/2}x^2}[/mm] =
> [mm]-x*k(x)*e^{-{1/2}x^2}+e^x*(x+1)[/mm]
>
> Also
>
> [mm]k'(x)*e^{-{1/2}x^2}[/mm] = [mm]e^x*(x+1)[/mm]
>
> [mm]k'(x)=e^{{1/2}x^2}*e^x*(x+1)[/mm] stellt nun die Ableitung der
> variierten Konstante dar, und diese Funktion muss ich nun
> integrieren um auf die variierte Konstante zu kommen,
> richtig?
Ja
> Wenn ja wie?
Es ist
[mm] k'(x)=e^{{1/2}x^2+x}*(x+1)
[/mm]
k' ist also von der Form
[mm] e^{u(x)}*u'(x)
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Mfg.
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Durch Anwendung der Substitutionsregel kann ich die Gleichung
[mm] k'(x)=e^{1/2 x^2}*e^x [/mm] *(x+1)
integrieren:
k = [mm] e^{1/2 x^2+x} [/mm] +d
Richtig integriert?
Die Funktion kann ich nun in die vorläufige Lösung
y = [mm] k(x)*e^{- 1/2 x^2}
[/mm]
einsetzen:
y = [mm] (e^{1/2 x^2} [/mm] * [mm] e^x +d)*e^{- 1 /2 x^2} [/mm] = 1 * [mm] e^{ - 1/2 x^2+x} [/mm] +d
Wie gehts nun weiter? youtube video endet hier leider ;)
Im Anfangswertproblem ist y(0)=2 gegeben und ich soll y(1) bestimmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Durch Anwendung der Substitutionsregel kann ich die
> Gleichung
>
> [mm]k'(x)=e^{1/2 x^2}*e^x[/mm] *(x+1)
>
> integrieren:
>
> k = [mm]e^{1/2 x^2+x}[/mm] +d
>
> Richtig integriert?
Ja, aber das d kannst Du weglassen, denn Du benötigst ja nur eine spezielle Lösung.
>
> Die Funktion kann ich nun in die vorläufige Lösung
>
> y = [mm]k(x)*e^{- 1/2 x^2}[/mm]
>
> einsetzen:
>
> y = [mm](e^{1/2 x^2}[/mm] * [mm]e^x +d)*e^{- 1 /2 x^2}[/mm] = 1 * [mm]e^{ - 1/2 x^2+x}[/mm]
> +d
Ohne d bekommst Du [mm] y_p(x)=k(x)e^{- 1/2 x^2}=e^x.
[/mm]
Das ist eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
FRED
>
> Wie gehts nun weiter? youtube video endet hier leider ;)
>
> Im Anfangswertproblem ist y(0)=2 gegeben und ich soll y(1)
> bestimmen.
>
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Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Wie gehts nun weiter? youtube video endet hier leider ;)
Im Anfangswertproblem ist y(0)=2 gegeben und ich soll
y(1)bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 23.01.2014 | | Autor: | daSilva67 |
Wenn ich d in der Gleichung behalte.
Also y(x) = [mm] e^x [/mm] +d
und aus y(0)= 2 -> x = 0 und y = 2 in die Gleichung einsetze erhalte ich:
[mm] 2=e^0 [/mm] +d
Auflösen nach d:
2- [mm] e^0 [/mm] = d -> d = 1
Nun könnte ich y(1) berechnen:
y(1) = [mm] e^1 [/mm] + 1 = 3,7183
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Fr 24.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnellen Antworten.
>
> Wie gehts nun weiter? youtube video endet hier leider ;)
>
> Im Anfangswertproblem ist y(0)=2 gegeben und ich soll
> y(1)bestimmen.
Die allgemeine Lösung der DGL lautet:
$ [mm] y(x)=ke^{- 1/2 x^2}+e^x. [/mm] $
Bestimme k so, dass y(0)=2 ist
FRED
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Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet:
y = k * [mm] e^{-1/2x^2} [/mm] = k * [mm] e^{-1/2} [/mm] + [mm] e^{x^2}
[/mm]
Wenn ich das nun für den Fall y(0)=2 nach k auflöse komme ich auf:
2 = k * [mm] e^{-1/2} +e^0
[/mm]
k = 1,64872127
Wenn ich jetzt y(1) ausrechne komme ich auf:
y(1) = 1,64871217 * [mm] e^{-1/2} [/mm] + [mm] e^1 [/mm] = 3,718
Also genau das gleiche ergebnis, wie wenn ich in die spezielle lösung [mm] e^x [/mm] einsetze. Löse ich hier falsch nach k auf?
Nach der Euler-Cauchy-Variante kommt 3,2885 raus und das müsste eigentlich stimmen. So langsam verzweifel ich echt an dieser Aufgabe...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet:
>
> y = k * [mm]e^{-1/2x^2}[/mm] = k * [mm]e^{-1/2}[/mm] + [mm]e^{x^2}[/mm]
>
> Wenn ich das nun für den Fall y(0)=2 nach k auflöse komme
> ich auf:
>
> 2 = k * [mm]e^{-1/2} +e^0[/mm]
>
> k = 1,64872127
>
> Wenn ich jetzt y(1) ausrechne komme ich auf:
>
> y(1) = 1,64871217 * [mm]e^{-1/2}[/mm] + [mm]e^1[/mm] = 3,718
>
> Also genau das gleiche ergebnis, wie wenn ich in die
> spezielle lösung [mm]e^x[/mm] einsetze. Löse ich hier falsch nach
> k auf?
>
> Nach der Euler-Cauchy-Variante kommt 3,2885 raus und das
> müsste eigentlich stimmen. So langsam verzweifel ich echt
> an dieser Aufgabe...
Hallo,
Ich habe keine Ahnung was du hier tust,
aber das ist viel einfacher als du denkst!
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet:
[mm] $y(x)=ke^{-\frac{1}{2}*x^2}+e^x$
[/mm]
Du sollst $k$ bestimmen, sodass folgendes gilt:
$y(0)=2$
Demnach soll folgendes gelten:
[mm] $y(0)=ke^{-\frac{1}{2}*0^2}+e^0=k*1+1=2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] k=1$
Gruß
DieAcht
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Mein Problem ist, dass ich eine andere allgemeine Lösung des DGL errechnet habe, die mir hier auch bestätigt wurde.
y = k * [mm] e^{-1/2*x^2}
[/mm]
ihr aber
y = k * [mm] e^{-1/2*x^2}+e^x [/mm] rausbekommt und ich nicht weiss wo dass + [mm] e^x [/mm] herkommen soll.
Ich rechne daher wohl schon die ganze Zeit mit einer falschen Zwischenlösung.
Mein Lösungsweg zur Bestimmung des DGL lautet:
y'(x) = -x *y(x)
dy/dx = -x*y
dy = -x*y*dx
1/y *dy = -x*dx
ln|y|+c1 = - 1/2 [mm] x^2+c2
[/mm]
ln|y| = - 1/2 [mm] x^2 [/mm] +c
|y| = [mm] e^{-1/2x^2+e^c} [/mm] = [mm] e^{-1/2x^2} *e^c
[/mm]
y = [mm] +-e^c [/mm] * [mm] e^{-1/2x^2} [/mm]
y = k * [mm] e^{-1/2x^2}
[/mm]
Woher bekomm ich nun das + [mm] e^x? [/mm] Wo liegt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:51 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Mein Problem ist, dass ich eine andere allgemeine Lösung
> des DGL errechnet habe, die mir hier auch bestätigt
> wurde.
>
> y = k * [mm]e^{-1/2*x^2}[/mm]
>
> ihr aber
>
> y = k * [mm]e^{-1/2*x^2}+e^x[/mm] rausbekommt und ich nicht weiss wo
> dass + [mm]e^x[/mm] herkommen soll.
>
> Ich rechne daher wohl schon die ganze Zeit mit einer
> falschen Zwischenlösung.
>
> Mein Lösungsweg zur Bestimmung des DGL lautet:
>
> y'(x) = -x *y(x)
>
> dy/dx = -x*y
>
> dy = -x*y*dx
>
> 1/y *dy = -x*dx
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> ln|y|+c1 = - 1/2 [mm]x^2+c2[/mm]
>
> ln|y| = - 1/2 [mm]x^2[/mm] +c
>
> |y| = [mm]e^{-1/2x^2+e^c}[/mm] = [mm]e^{-1/2x^2} *e^c[/mm]
>
> y = [mm]+-e^c[/mm] * [mm]e^{-1/2x^2}[/mm]
>
> y = k * [mm]e^{-1/2x^2}[/mm]
>
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> Woher bekomm ich nun das + [mm]e^x?[/mm] Wo liegt mein Fehler?
y = k * [mm]e^{-1/2x^2}[/mm]
ist die allg. Lösung der homogenen DGL
y'(x) = -x * $ y(x)$
[mm] e^x [/mm] ist eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL
y'(x) = -x * $ [mm] y(x)+e^x [/mm] $ *(x+1)
FRED
>
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Das ist mir schon klar.
Die Ausgangsgleichung ist: [mm] y'(x)=-x*y(x)+e^x*(x+1)
[/mm]
Die Lösung der homogenen DGL ist: y = k * [mm] e^{-1/2x^2}
[/mm]
Eine Lösung der inhomogenen DGL ist: y = [mm] e^x
[/mm]
Mein Problem ist nur wie komme ich damit auf die allgemeine Lösung der DGL: y = [mm] k*e^{-1/2x^2}*e^x [/mm] ?
Das habe ich leider in keinem Video gefunden, es ging immer nur um die Berechnung der homogenen und einer inhomogenen Lösung.
thx.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mo 03.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Das ist mir schon klar.
>
> Die Ausgangsgleichung ist: [mm]y'(x)=-x*y(x)+e^x*(x+1)[/mm]
>
> Die Lösung der homogenen DGL ist: y = k * [mm]e^{-1/2x^2}[/mm]
>
> Eine Lösung der inhomogenen DGL ist: y = [mm]e^x[/mm]
>
> Mein Problem ist nur wie komme ich damit auf die allgemeine
> Lösung der DGL: y = [mm]k*e^{-1/2x^2}*e^x[/mm] ?
Wie kommst du denn auf das Multiplizieren?
Du musst nur die Lösung der homogen- bzw. inhomogenen DGL addieren!
Die Lösung der allgemeinen DGL ist:
[mm] $y=k*e^{-1/2x^2}+e^x$
[/mm]
> Das habe ich leider in keinem Video gefunden, es ging immer
> nur um die Berechnung der homogenen und einer inhomogenen
> Lösung.
>
> thx.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Do 23.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
wie lautet die homogene DGL?
Wenn du das herausgefunden hast, dann nutze die Methode der Trennung der Variablen. Die einfachste Lösungsmethode die es überhaupt gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Do 23.01.2014 | | Autor: | daSilva67 |
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Zu Teil b)
Anfangswertproblem: [mm] y'(x)=-x*y(x)+e^x*(x+1)
[/mm]
Mit y(0)=2 und einer Schrittweite von h = 0,1!
Es ist y(1) mit dem Euler-Cauchy-Verfahren zu bestimmen.
Bevor ich nun alle 10 Schritte berechne, wollte ich vorher nachfragen ob mein Ansatz so stimmt.
Die Punkte des Polygonzuges können folgendermaßen berechnet werden:
[mm] y_i [/mm] = [mm] y_{i-1}+0,1*(-x_{i-1}*y_{i-1}+e^{x_{i-1}}*(x_{i-1}+1))
[/mm]
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 24.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum frägst du bei jeder Kleinigkeit? die Formel ist richtig.
Gru0 leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Fr 24.01.2014 | | Autor: | daSilva67 |
Danke für die Antwort.
Ist das erste mal, dass ich eine solche Aufgabe gerechnet habe und habe dazu auch leider keine Unterlagen. Warum soll ich da nicht fragen in einem Forum? Wenn man weiss wie die Aufgaben gehen sind die Fragen doch nach einem kurzen Blick beantwortet.
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